risolvere i seguenti limiti

[simo9115]

$ \lim_{x \to \+infty} x-ln(1+e^x + x^2) $
$ \lim_{x \to \pi/2} (2x-pi)tan x $

chi mi aiuta a risolvere questi limiti? è tutta la mattinata che ci provo ma proprio nn riesco a ricavare niente...

[21zuclo]

esponi il tuo tentativo.. non importa se è giusto o sbagliato..

Cominciamo dal primo $\lim_(x\to +\infty) x-\ln(1+e^x+x^2)$

come hai provato a farlo?..

[simo9115]

sul secondo limite premetto che sono stato 1 ora a sfogliare il libro per cercare un punto di partenza ma non sono riuscito a trovare niente...diciamo che nn so proprio come partire...sul secondo ho provato a ricondurlo al limite notevole
$ (1+1/x)^x $ ma senza risultato...scusate ma sono parecchio arrugginito su analisi matematica e mi trovo in situazioni come queste dove non so neanche da dove iniziare...

[stormy]

per il primo puoi scrivere
$ln(e^x+x^2+1)=ln[e^x(1+x^2/e^x+1/e^x)]=lne^x+ln(1+x^2/e^x+1/e^x)=x+ln(1+x^2/e^x+1/e^x)$

per il secondo ti consiglio il cambio di variabile $y=x-pi/2$

[simo9115]

ok per la prima ci sono...venendo alla seconda...è sbagliato trasformare la tangente in cotagente e applicare l'hopital?

[stormy]

ok per la prima ci sono...venendo alla seconda...è sbagliato trasformare la tangente in cotagente e applicare l'hopital?

no non è sbagliato, ma,visto che hai detto che non riuscivi,pensavo volessi arrivare al risultato senza usare la regola del marchese

[simo9115]

nono voglio usare tutte le regole hihih adesso sono incappato in quest'altro limite...
$ \lim_{x \to \infty} (2^nsqrt(4+4^n) - 4^n) $

innanzitutto ho moltiplicato numeratore e denominatore per $ 2^nsqrt(4+4^n) + 4^n $
fino ad un punto in cui riapplico l'hopital e alla fine di tutto questo sperando di non aver sbagliato nulla mi ritrovo così:

$ \lim_{x \to \infty} 2^n/(1/(sqrt(4+4^n)) + 1 $

e qui mi blocco...

[stormy]

l'argomento del limite si può scrivere come
$2^ncdot2^nsqrt(1+4/4^n)-4^n=4^n(sqrt(1+4/4^n)-1)=4^ncdot4/4^n(sqrt(1+4/4^n)-1)/(4/4^n)=4(sqrt(1+4/4^n)-1)/(4/4^n)$
passando al limite si ha $4 cdot 1/2=2$
ho applicato il seguente limite notevole :
$ lim_(x -> 0) ((1+x)^alpha-1)/x=alpha $

[simo9115]

ma secondo quale regola hai moltiplicato numeratore e denominatore per $ 4/4^n $ ?

[stormy]

secondo la regola per la quale se si moltiplica e divide per una stessa quantità il risultato non cambia
è tutto perfettamente legale