equazione lineare di Eulero

[ste13]

Salve, ho un dubbio sulle equazioni lineari di Eulero: non riesco a capire quale criterio devo seguire per scrivere un integrale particolare $v(x)$ della mia equazione. spero di spiegarmi meglio con un esercizio che riesco a risolvere a metà.

$x^2 y'' - xy' -3y = x^2 logx$

procedo così:
pongo $x=e^t$ e $t=logx$ e mi ricavo questa associata:

$a^2 -2a -3 =0$ che mi dà due soluzioni reali distinte
$a1= 3$ e $a2= -1$

dunque l'integrale particolare è : $y(x)= c1x^3 + (c2)/x + v(x)$

ora, per calcolare $v(x)$ devo porre $v(t)=$ qualcosa che ha a che fare con$ f(e^t)$, dove $f(e^t)=te^(2t)$
ma in che modo? c'è una legge per scrivere $v(t)$?

ad esempio in altri esercizi ho trovato questi casi:
$x^2 y'' + 2x y' -y= x(logx +2)= f(x)$ --> $f(e^t)=(t+2)e^t$--> $v(t)=(bt+c)e^t$

$x^2 y'' +2x y' -2y=x^2=f(x)$---> $f(e^t)=e^(2t)$ --> $v(t)=be^(2t)$

dove $b$ e $c$ sono incognite (che ho capito come calcolare).

ma da questi esercizi precedenti non riesco a trovare lo spunto per scrivere correttamente $v(t)$ (sia nell'esercizio che ho scritto all'inizio, sia in altri casi in generale).
sul seguito dell'esercizio non ho problemi.

grazie in anticipo

[ciampax]

Partendo dall'equazione differenziale ottenuta con il cambiamento di variabili, $\ddot{y}-2\dot{y}-3y=te^{2t}$, ricavi la soluzione dell'omogenea associata $y_O(t)=C_1 e^{3t}+C_2 e^{-t}$. La soluzione particolare, associata al termine noto $te^{2t}$, dal momento che $e^{2t}$ non compare come soluzione dell'omogenea, va ricercata in una funzione della forma
$$y_P(t)=(at+b) e^{2t}$$
per la presenza del polinomio di primo grado nel termine noto. Derivando
$$\dot{y}_P(t)=(a+2b+2at)e^{2t},\qquad \ddot{y}_P(t)=(4a+4b+4at)e^{2t}$$
e sostituendo nell'equazione
$$(4a+4b+4at-2a-4b-4at-3at-3b)e^{2t}=te^{2t}\ \Rightarrow\ 4a-3b-3at=t$$
e quindi deve essere $4a-3b=0,\ -3a=1$ da cui $a=-1/3,\ b=-4/9$.
Pertanto la soluzione dell'equazione è
$$y(t)=C_1 e^{3t}+C_2 e^{-t}-\frac{1}{9}(3t+4)e^{2t}$$
Ritornando alla variabile $x$ si ha
$$y(x)=C_1 x^3+\frac{C_2}{x}-\frac{x^2}{9}\left(3\log x+4\right)$$

[ste13]

grazie mille! anche se $b= -2/9$ perchè l'equazione alla fine è $2a - 3b -3at=t$

e se $e^(2t)$ fosse stata soluzione dell'omogenea, come avrei dovuto scrivere $yp(t)$?

[ciampax]

Dipende da quante volte è soluzione. Se l'omogenea fosse stata $y=C_1 e^{2t}+C_2 e^{kt}$ con $k\ne 2$ allora avresti dovuto scegliere $y_p=t(at+b)e^{2t}$.
Se invece si fosse avuto $y=(C_1+c_2 t)e^{2t}$, allora avresti dovuto scegliere $y_p=t^2(at+b)e^{2t}$.

[ste13]

ora è tutto più chiaro! grazie ancora.