Problema al contorno per PDE

[erma333]

Ciao a tutti!
Ho un problema con quest'esercizio: devo determinare la soluzione del problema al contorno
$\{(delxu+2delyu=0),(u(x,0)=sin(x)):}$
la prima per $y>0$
Ho provato con due metodi risolutivi:
1. Cambiamento di coordinate:
Ho operato il seguente cambiamento di coordinate:
$\{(\xi=(x+y)/3),(\eta=(2x-y)/3):}$
che trasforma l'equazione di partenza nell'equazione
$del\xiu=0$
e trovo quindi come soluzione la funzione $u(x,y)=\phi((2x-y)/3)$
2. Metodo delle caratteristiche:
So che le caratteristiche dell'equazione risolvono il sistema di EDO
$\{(dot x(t)=1),(dot y(t)=2),(dot z(t)=0):}$
da cui ottengo
$\{(x(t)=t+h),(y(t)=t+k),(z(t)=m):}$
con $h, k, m$ costanti arbitrarie. Fisso una curva iniziale $\gamma=(x_0(s), y_0(s))$ in modo che valga la condizione di ortogonalità:
$ |(dot x_0(s), dot y_0(s)),(1,2)|!=0$
quindi scelgo $\gamma=(s,s)$ prescrivo $u_0(s)$ su $\gamma$ e definisco
$\Gamma=(s,s,u_0(s))$
Trovo che le caratteristiche uscenti dai punti di $\Gamma$ hanno equazioni:
$(x(s,t),y(s,t),z(s,t)=(t+s,2t+s,u_0(s))$
inverto le prime due relazioni e ottengo
$\{(t=-x+y),(s=2x-y):}$
quindi la soluzione dell'equazione con dato iniziale $u_0(s)$ su $\Gamma$ è
$u(x,y)=z(s(x,y),t(x,y))=u_0(s(x,y))=u_0(2x-y)$
Il problema è che ottengo i due metodi mi forniscono due soluzioni diverse e vorrei sapere se questo è legato alla scelta del cambiamento di coordinate nel primo metodo.
Inoltre non ho ben chiaro come procedere una volta imposte le condizioni al contorno:
nel secondo caso ho $u(x,0)=u_0(2x)=sin(x) => u_0(x)=sin(x/2)$ a questo punto come torno all'espressione di $u(x,y)$ ?

[ciampax]

Il primo metodo va bene, ma attenta a trasformare anche il dominio del problema. La nuova condizione al bordo, infatti, tenuto conto che $x=\xi+\eta,\ y=2\xi-\eta$ e che $y=0\ \Leftrightarrow\ \eta=2\xi$ diventa, ponendo $U(\xi,\eta)=u(\xi+\eta,2\xi-\eta)$
$$u(3\xi,0)=\sin(3\xi)=U(\xi,2\xi),\qquad u(3\eta/2,0)=\sin(3\eta/2)=U(\eta/2,\eta)$$
Pertanto, risolvendo $U_\xi=0$ si trova $U(\xi,\eta)=\phi(\eta)$ valida per ogni $\xi$,e quindi
$$U(\eta/2,\eta)=\sin(3\eta/2)=\phi(\eta)$$
e infine
$$u(x,y)=\sin\left(\frac{3}{2}\frac{2x-y}{3}\right)=\sin\left(\frac{2x-y}{2}\right)$$

Per quanto riguarda il metodo delle caratteristiche: indichiamo con $(x(s),y(s))$ la curva caratteristica, poniamo $z(s)=u(x(s),y(x))$ e $p(s)=u_x(x(s),y(s)),\ q(s)=u_y(x(s),y(s))$. Avendosi $F(p,q,z,x,y,s)=p+2q=0$ segue che le equazioni caratteristiche sono
$$\dot{x}=1,\ \dot{y}=2,\ \dot{z}=p+2q=0$$
con condizione $z(0)=sin(x(0))$. Ora, vediamo subito che dovendo essere $x(0)=x^0,\ y(0)=0$ si ha
$$x(s)=s+x^0,\qquad y(s)=2s+y^0$$
e quindi
$$x^0=x(s)-s=x(s)-\frac{y(s)}{2}=\frac{2x(s)-y(s)}{2}$$
da cui
$$z(s)=c=z(0)=\sin(x(0))=\sin(x^0)=\sin\left(\frac{2x(s)-y(s)}{2}\right)$$
da cui ricordando le posizioni fatte
$$u(x,y)=\sin\left(\frac{2x-y}{2}\right)$$

[erma333]

Grazie mille! Approfitto della gentilezza per chiarirmi un ulteriore dubbio (abbi pietà è l'ultimo esame!!)
Una variante dell'esercizio precedente mi dà è questa:
$ \ { (delxu + 2delyu = 0), ( u(x,0)=sin(x) ), ( u(x,l)=sin(x) ):} $
la prima per $yin(0,l)$. Devo determinare i valori di $l>0$ per i quali la soluzione esiste.
Quindi seguendo il procedimento del cambiamento di variabili arrivo sempre alla solita soluzione $U(\xi,\eta)=u(\xi+\eta,2\xi-\eta)$ e le condizioni iniziali questa volta diventano:
$u(3\xi,0)=sin(3\xi)=U(\xi,2\xi)$
$u(3/2\eta,0)=sin(3/2\eta)=U(\eta/2,\eta)$
$u(3\xi-l,l)=sin(3\xi-l)=U(\xi,2\xi-l)$
$u((l+3\eta)/2,l)=sin((l+3\eta)/2)=U((l+\eta)/2,\eta)$
So che $U(\xi,\eta)=\phi(\eta) AA \xi => U(\eta/2,\eta)=sin(3/2\eta)=\phi(\eta) => u(x,y)=sin((2x-y)/2)$
Ma anche $U((l+\eta)/2,\eta)=sin((l+3\eta)/2) => u(x,y)=sin((2x-y)/2+l/2)$
Per unicità della soluzione e per la periodicità del seno ho $l/2=2k\pi => l=4k\pi$ per $kinNN$

[ciampax]

Quando calcoli la condizione al bordo $(x,l)$ devi imporre $2\xi-\eta=l$

[erma333]

L'ho fatto, il mio dubbio nasce proprio dal fatto che questa volta ho due espressioni per $\phi(\eta)$: $U((l+\eta)/2,\eta)$ che segue imponendo la condizione $u(x,0)=sin(x)$ e $U(\eta/2,\eta)$ che segue imponendo la condizione $u(x,l)=sin(x)$.
Quindi non sono sicura se per giungere alla soluzione finale mi basta confrontarle e imporre le condizioni opportune..

[ciampax]

Mi sa che fai confusione. Dal momento che le variabili sono $x=\xi+\eta,\ y=2\xi-\eta$la prima condizione $u(x,0)$ la puoi riscrivere in due modi, dal momento che deve essere $\eta=2\xi$
$$U(\xi,2\xi)=u(3\xi,0)=\sin(3\xi),\qquad U(\eta/2,\eta)=u(3\eta/2,0)=\sin(3\eta/2)$$
Analogamente per l'altra condizione al bordo deve essere $2\xi-\eta=l$ da cui la seconda condizione può essere scritta come
$$U(\xi,2\xi-l)=u(3\xi-l,l)=\sin(3\xi-l),\qquad U((\eta+l)/2,\eta)=u((3\eta+l)/2,l)=\sin((3\eta+l)/2)$$
Chiaro?

[erma333]

Ma questi passaggi ci sono nel procedimento che ho descritto:

Quindi seguendo il procedimento del cambiamento di variabili arrivo sempre alla solita soluzione $U(\xi,\eta)=u(\xi+\eta,2\xi-\eta)$ e le condizioni iniziali questa volta diventano:
$u(3\xi,0)=sin(3\xi)=U(\xi,2\xi)$
$u(3/2\eta,0)=sin(3/2\eta)=U(\eta/2,\eta)$
$u(3\xi-l,l)=sin(3\xi-l)=U(\xi,2\xi-l)$
$u((l+3\eta)/2,l)=sin((l+3\eta)/2)=U((l+\eta)/2,\eta)$

Il mio dubbio è sulle conclusioni che traggo:

So che $U(\xi,\eta)=\phi(\eta) AA \xi => U(\eta/2,\eta)=sin(3/2\eta)=\phi(\eta) => u(x,y)=sin((2x-y)/2)$
Ma anche $U((l+\eta)/2,\eta)=sin((l+3\eta)/2) => u(x,y)=sin((2x-y)/2+l/2)$
Per unicità della soluzione e per la periodicità del seno ho $l/2=2k\pi => l=4k\pi$ per $kinNN$

[ciampax]

Sì, scusami, è che mi sembravano strane. La conclusione è corretta.

[erma333]

Ok! Grazie mille di nuovo