Matrice Simmetrica

[Johnny7]

Ciao! Avrei una domanda per quanto riguarda la teoria, una dimostrazione che non saprei proprio fare..

Dimostrare che ogni matrice ortogonalmente diagonalizzabile è simmetrica.

So che una matrice A, quadrata, si dice simmetrica se $A^T = A$ e A è ortogonalmente diagonalizzabile se esiste una matrice H tale che $H^T A H = D$, dove D è una matrice diagonale.
Non riesco però a collegare queste due cose, e ho l'esame fra qualche giorno
Qualcuno mi può dare una mano??

[lobacevskij]

Se $A$ é ortogonalmente diagonalizzabile, allora $A=HDH^T$, da cui si ha che:
$A^T=(HDH^T)^T=HD^TH^T=HDH^T=A$

[Johnny7]

Grazie... ma posso chiederti il perchè della seconda uguaglianza? ( $(HDH^T)^T = HD^TH^T$ )

[lobacevskij]

Siano $P$ e $Q$ due matrici (devono soddisfare certi requisiti "minimi", ma ti rimando a qualche testo di geometria), allora vale:

$(PQ)^T=Q^TP^T$

(qui puoi trovarne una dimostrazione)

Nel nostro caso, se $P=HD$ e $Q=H^T$ hai che:

$(HDH^T)^T = (H^T)^T(HD)^T$

ma la trasposta della trasposta è la matrice stessa, dunque:

$(H^T)^T=H$

mentre per $(HD)^T$ applichiamo di nuovo la formula del prodotto, ossia:

$(HD)^T=D^TH^T=DH^T$

($D^T=D$ perché $D$ è una matrice diagonale).
Mettendo insieme i vari pezzi si giunge dunque alla conclusione:

$(HDH^T)^T = (H^T)^T(HD)^T=HDH^T$

[Johnny7]

Grazie, molto chiaro!!