Flusso del campo vettoriale

[Mr.Mazzarr]

Premetto che sull'argomento non so quasi nulla, perchè nonostante presente i svariati compiti scritti è stato un argomento che la prof ha trattato poco o nulla a lezione. Quindi necessito davvero del vostro aiuto.

Ho bisogno di sapere come si svolgono esercizi del tipo:

'' Calcolare il flusso del campo vettoriale $F(x, y, z) = (x, x, 1)$ attraverso la porzione di superficie $z = x^2 -y^2$ interna al cilindro $x^2 + y^2 = 1$ orientata in modo che la normale punti verso l'alto. ''

Chiedo scusa per la pochezza di questo post, in cui non ho nemmeno avanzato una proposta di svolgimento. Ma davvero non so proprio come farlo.

Vi ringrazio !

[ciampax]

Il flusso attraverso una superficie $\Sigma$ è dato dall'integrale di superficie
$$\int_{\Sigma} \vec{F}(x,y,z)\bullet\vec{n}\ d\sigma$$
dove $\vec{n}$ è il versore normale alla superficie e uscente da essa e il pallino indica il prodotto scalare.
Sostanzialmente si tratta di calcolare un integrale di superficie: scelta una parametrizzazione
$$\vec{r}(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v)),\qquad (u,v)\in D\subset\mathbb{R}^2$$
dal momento che
$$\vec{n}=\frac{\vec{r}_u\wedge\vec{r}_v}{|\vec{r}_u\wedge\vec{r}_v|}$$
dove $\wedge$ è il prodotto vettoriale e i pedici indicano la derivazione rispetto alla variabile, e che $$d\sigma=|\vec{r}_u\wedge\vec{r}_v|\ du\ dv$$
segue che tale flusso è dato dall'integrale
$$\iint_D \vec{F}(\vec{r})\bullet(\vec{r}_u\wedge\vec{r}_v)\ du\ dv$$
In particolare, se la superficie è chiusa e il campo è differenziabile, si può applicare il Teorema della divergenza: detto $V$ il volume racchiuso nella superficie $\Sigma$ abbiamo
$$\int_{\Sigma} \vec{F}(x,y,z)\bullet\vec{n}\ d\sigma=\iiint_V (\nabla\bullet\vec{F})\ dx\ dy\ dz$$

[Mr.Mazzarr]

In che occasione posso dire che la superificie è chiusa ?
Il Teorema della divergenza mi permette di calcolare il flusso mediante il prodotto scalare tra la superficie e il gradiente ? Ho letto bene ?

[ciampax]

1) una superficie è chiusa quando separa lo spazio in due parti, uno interno e uno esterno;
2) il simbolo $\nabla\cdot F$ è la divergenza di un vettore (il gradiente è $\nabla f$).

Mi sa che ti manca qualche definizione, o sbaglio?

[Mr.Mazzarr]

Ho un problema con il flusso vettoriale. L'esercizio è:

'' Calcolare il flusso del campo vettoriale:

$F(x, y, z) = (2x)/(x^2 + y^2) vec i_1 + (3y)/(x^2 + y^2) vec i_2 + vec i_3$

attraverso la superficie S di rappresentazione parametrica:

$vec r(u, v) = ucos(v) vec i_1 + usin(v) vec i_2 + u^2 vec i_3$

con $u in [0, 1/2]$ e $v in [0, 2pi]$ e con la normale orientata verso il basso.''


I miei dubbi nascono nella ''stesura'' dell'integrale di superficie finale. Considerando che la normale è:

$vec n = (2u^2cos(v) + 2u^2sen(v) - u)/(4u^4 + u^2)$

Non so scrivere l'integrale seguente:

$int_{0}^{1/2} int_{0}^{2pi} vec F( vec r(u, v)) * vec n du dv$


Vi ringrazio, ciao.

[ciampax]

Ma come fa a venire la normale uno scalare? Devi fare il prodotto vettoriale.
$$r_u\wedge r_v=(\cos v,\sin v,2u)\wedge(-u\sin v,u\cos v,0)=(-2u^2\cos v,-2u^2\sin v,u)$$
per cui, volendo che $\vec{n}\cdot\vec{k}<0$ (in modo che la normale sia orientata verso il basso)
$$\vec{n}=\frac{1}{\sqrt{4u^4+u^2}}(2u^2\cos v,2u^2\sin v,-u)$$
A questo punto il prodotto scalare tra campo e normale danno
$$F\bullet \vec{n}=\left(\frac{2\cos v}{u},\frac{3\sin v}{u},1\right)\bullet\frac{1}{\sqrt{4u^4+u^2}}(2u^2\cos v,2u^2\sin v,-u)=\\\frac{4u\cos^2 v+3u\sin^2 v-u}{\sqrt{4u^4+u^2}}=\frac{u\cos^2 v+2u}{u\sqrt{4u^2+1}}=\frac{\cos^2 v+2}{\sqrt{4u^2+1}}$$

[Mr.Mazzarr]

Ho sbagliato nomenclatura, la normale che avevo scritto era in modulo. Mea culpa.
C'è una radice a denominatore in quanto per fare il modulo fai la radice del quadrato ? Giusto ?


Ti posso porre una domanda sul ragionamento da effetture ?
Ho letto l'esercizio ed ho notato che il teorema della divergenza non è applicabile in quanto il volume che ha bordo S non è aperto. In tal caso, le uniche cose da fare calcolare il flusso è calcolare la normale, il prodotto scalare tra normale e flusso e infine l'integrale di superficie ? Basta così ?
Te lo chiedo perchè in esercizi simili mi vengono date ad esempio le equazioni che costituiscono la superficie, quindi non mi servono a nulla in situazioni del genere ?

[Mr.Mazzarr]

Devo calcolare il flusso del campo vettoriale $F(x, y, z) = (y, x, z)$ uscente dal paraboloide $z = 1 - x^2 - y^2$ contenuto nel semispazio $z >= 0$. Come posso fare ?

Ho pensato di usare il teorema della divergenza e poi integrare per fili paralleli all'asse $z$ considerando $0 <= z <= 1 - x^2 - y^2$. Come vi sembra ? Un'idea sbagliata ?

[ciampax]

L'idea è buona, ma per usare il teorema della divergenza devi "chiudere" quel solido. Infatti La richiesta è quella di calcolare il flusso attraverso la superficie laterale, mentre il Teorema della divergenza prevede che si consideri tutta la superficie che "circonda" il tuo solido: quindi alla superficie $S$ (laterale) va aggiunta anche la base $B_0$ del paraboloide, che si ottiene per $z=0$. In definitiva quindi, se $V$ è il solido e quindi $\partial V=S\cup B_0$ otterrai che
$$\iiint_V \nabla\bullet F=\int_S F\bullet n+\int_{B_0} F\bullet n_0$$
e quindi
$$\int_S F\bullet n=\iiint_V \nabla\bullet F-\int_{B_0} F\bullet n_0$$
dove $\nabla\cdot F$ è la divergenza e $n_0=(0,0,-1)$ e il versore normale uscente dalla base.

[Mr.Mazzarr]

Non so se ho ben capito come '' leggere '' una superficie e regolarmi di conseguenza per il teorema della divergenza..

La maggior parte degli esercizi mi da il campo vettoriale, l'equazione della superficie e l'orientamento della stessa. Non capisco come posso comprendere se è aperta o no e quindi se applicare o meno il teorema della divergenza.

Perchè se mi dice semplicemente di calcolare il flusso uscente dal bordo di una superificie so che posso usare il teorema e lo uso.