Esercizio su Potenziale di un Campo Vettoriale

[Blizz]

Nel seguente esercizio:



Affinché il campo vettoriale $F$ sia esatto è necessario che $b=3tan(x_1-3x_2)$.

Scelgo i cammini:

$\alpha(t)=(t,0)$ con $t \in [0,\pi]$

e

$\beta(t)=(\pi,t)$ con $t \in [0,\pi]$

Quindi $\alpha'(t)=(1,0)$ e $\beta'(t)=(0,1)$.

Vado dunque a calcolare:
$U(\pi,\pi) = U(0,0) + \int_0^\pi (cos(t),3tg(t)sin(t))*(1,0) dt +\int_0^\pi (cos(\pi-3t),3tg(\pi-3t)sin(\pi-3t))*(0,1) dt$

1)$U(0,0)=0$

2)$\int_0^\pi (cos(t),3tg(t)sin(t))*(1,0) dt = 0 $

3)$\int_0^\pi (cos(\pi-3t),3tg(\pi-3t)sin(\pi-3t))*(0,1) dt = \int_0^\pi tg(x)sin(x) dx$ se pongo $\pi-3t=x$

Quanto vale $\int_0^\pi tg(x)sin(x) dx$? Come si svolge? Fino a qui vi sembra corretto il procedimento?

Grazie per l'aiuto!

[ciampax]

$b(x_1,x_2)=-3/{\tan(x_1-3x_2)}$ Infatti la condizione di chiusura si scrive
$$\left[b\cdot\sin(x_1-3x_2)\right]_{x_1}=3\sin(x_1-3x_2)$$
da cui l'espressione scritta sopra.

[Blizz]

Un campo vettoriale, stellato rispetto qualche suo punto, se è chiuso è esatto. Quindi affinché sia chiuso faccio:

$\frac{dF_1}{dx_2}(x_1,x_2) = -3(-sin(x_1-3x_2))$

e

$\frac{dF_2}{dx_1}(x_1,x_2) =b(cos(x_1-3x_2))$

Ora affinchè non siano uguali $\frac{dF_1}{dx_2}(x_1,x_2) = \frac{dF_2}{dx_1}(x_1,x_2)$, $b$ non deve essere:

$b= \frac{-3(-sin(x_1-3x_2))}{(cos(x_1-3x_2))}$ ovvero $b=3\frac{sin(x_1-3x_2)}{cos(x_1-3x_2)}$ cioè $b=3tg(x_1-3x_2)$?

[ciampax]

Ehm, giovine, se $b$ è una funzione, lo devi derivare... Per come hai scritto tu, lo tratti come una costante.

[Blizz]

Ah io pensavo fosse una costante..

[ciampax]

Pensavi fosse una costante e lo scrivi come tangente di qualcosa? Coerente come Renzi, proprio!

[Blizz]

Ahahah adesso provo a rifarlo come dici te!

[Blizz]

Ok prendendo $b=\frac{-3}{tg(x_1-3x_2)}$ mi trovo a risolvere l'integrale:

$\int_0^\pi (cos(-2t),-3cos(-2t))*(1,1)dt$ (Prodotto scalare)

Il quale dovrebbe dare come risultato $0$, quindi la risposta sarebbe la c. Giusto?

[Blizz]

Ad ogni modo come svolgeresti $\int tg(x)*sin(x) dx$?

[ciampax]

Calma e sangue freddo: se la forma/campo è esatta non devi svolgere l'integrale!
Qui diventa
$$F(x_1,x_2)=(\cos(x_1-3x_2),-3\cos(x_1-3x_2))$$
e quindi una primitiva generica è
$$U(x,y)=\sin(x_1-3x_2)+c,\qquad c\in\mathbb{RR}$$
Quella cercata è quella in cui $c=0$ (basta sostituire con $(0,0)$) e quindi si ha
$$U(\pi,\pi)=\sin(\pi-3\pi)=\sin(-2\pi)=0$$