Esercizio Corpo Rigido Automobile

Messaggioda Max27 » 02/09/2014, 19:09

Ciao a tutti!

Mi potete dare una mano con questo esercizio?

Un'automobile sta viaggiando alla velocità \(\displaystyle vo = 100 km/h \). Ciascuna ruota è assimilabile ad un disco uniforme di massa \(\displaystyle M = 26 kg \) e raggio \(\displaystyle r = 32 cm \). Calcolare:
a) il momento della quantità di moto \(\displaystyle L \) di una ruota rispetto al suo asse di rotazione,
b) il momento \(\displaystyle M \) della forza esercitata sulla ruota quando l'auto, alla stessa velocità \(\displaystyle vo \), affronta una curva di raggio \(\displaystyle R = 90 m \).1

Per il primo punto non ho problemi:
\(\displaystyle L = Iω = 1/2 Mr^2 (vo/r) = 115.5 Nms\) che è la stessa risposta delle soluzioni.

Il problema è nel secondo punto, che non riuscendo ad impostarlo sono andato a vedere le soluzioni e fa:
\(\displaystyle L \) cambia solo di direzione, \(\displaystyle M = \) $ (partial L)/(partial t) $ \(\displaystyle = Lω' = L \ (vo/R) = 35.7 Nm \)


La cosa che non riesco a capire è \(\displaystyle M = Lω'\), che anche considerando le unità di misura \(\displaystyle [M] = kg*m^2*rad^2/s^2 \) (da \(\displaystyle M = I\alpha \)), mentre \(\displaystyle [L]*[ω] = kg*m^2*rad/s^2 \).

Grazie mille in anticipo! :D

Note

  1. [l'esercizio 7.27 del Mazzoldi Elementi]
Max27
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Re: Esercizio Corpo Rigido Automobile

Messaggioda navigatore » 02/09/2014, 21:13

È un'applicazione un po' disinvolta, ma neanche poi tanto, se sai di che cosa si sta parlando, e cioè della seconda eq. cardinale della dinamica : il momento di forze esterne causa variazione del momento angolare.
In questo caso, partendo dalla relazione più generale , questa :

Hai mai visto questa relazione tra la derivata del momento angolare nel riferimento fisso e quella nel riferimento mobile ?

$[(dvecL)/(dt)]_F = [(dvecL)/(dt)]_M + vec\omega\timesvecL $

talvolta il riferimento fisso è chiamato "spazio del laboratorio" o " assoluto" , il riferimento mobile è chiamato "spazio del corpo" .


che avevo dato a un tuo collega qualche tempo fa, e tenendo presente che nel tuo caso il momento angolare "nel corpo" non varia , cioè $[(dvecL)/(dt)]_M = 0 $ , si ha che :

$vecM_e = [(dvecL)/(dt)]_F = vec\omega\timesvecL $

se i vettori $vec\omega$ e $ vecL $ sono perpendicolari , il prodotto vettoriale è semplicemente $\omegaL$ .

Dimensionalmente va bene : quali sono le dimensioni del $N$ ?
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Re: Esercizio Corpo Rigido Automobile

Messaggioda Max27 » 02/09/2014, 22:32

Ok, adesso è tutto più chiaro. Conoscevo quella relazione, ma al momento non l'avevo collegata a questo esercizio. Grazie! :smt023

\(\displaystyle N \) erano Newton. Soltanto che non capisco come mai dimensionalmente nel ragionamento che ho fatto prima tra \(\displaystyle M \) e \(\displaystyle L \) mi manca un \(\displaystyle rad \):
\(\displaystyle [M] = kg*m^2*rad^2/s^2 \) (da \(\displaystyle M = I\alpha \)), e \(\displaystyle [L]*[ω] = kg*m^2*rad/s^2 \) (da \(\displaystyle L=Iω \)).
Cosa ci lascio per far tornare i conti?
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Re: Esercizio Corpo Rigido Automobile

Messaggioda navigatore » 02/09/2014, 22:41

Certo che $N$ sono Newton, la mia domanda era accademica!
Le dimensioni della velocità angolare sono $[T^-1]$ . Il radiante ha dimensione zero. L'accelerazione angolare ha dimensioni $[T^-2]$ .
Il prodotto $\omegaL$ ha dimensioni $ [ML^2T^-2]$ , come quelle di : momento = forza x braccio .

Controlla bene che viene tutto !
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Re: Esercizio Corpo Rigido Automobile

Messaggioda Max27 » 03/09/2014, 07:51

Ma infatti mi era sembrato molto molto strano che mi avessi chiesto cosa fosse \(\displaystyle N \), però per correttezza ho risposto lo stesso :-D

Comunque adesso mi è tutto più chiaro, non avevo considerato la dimensione zero del radiante.

Grazie mille ancora! :D
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