equazione differenziale lineare di primo grado

[ampetrosillo]

Non riesco a risolvere il seguente problema di Cauchy, nonostante la sua forma "stranamente complicata" lasci pensare a un modo rapidissimo di risolverlo:

$ { (y' + (1+2t)cos^2(t+t^2)y = (1+2t)cos(t+t^2)(1 + 1/2sin(2t+2t^2))),(y(0)=0):} $

Noto che:

- il fattore $ 1+2t $ è la derivata prima di $ t + t^2 $
- il termine $ 1/2sin(2t+2t^2) $ non è altro, secondo le formule di duplicazione, che $ cos(t+t^2)sin(t+t^2) $

Non riesco comunque a procedere. Nella fattispecie, risolvendola secondo il solito metodo, ottengo:

$ Phi (t) = c_0e^(-int(1+2t)cos^2(t+t^2)dt) + $
$ + e^(-int(1+2t)cos^2(t+t^2)dt)int(1+2t)cos(t+t^2)(1 + 1/2sin(2t+2t^2))e^(int(1+2v)cos^2(v+v^2)dv)dt $

L'integrale nel termine esponenziale riesco ad esplicitarlo, infatti:

$ int (1+2t)cos^2(t+t^2)dt = $ per la formula di linearità: $ 1/2int (1+2t)(1+cos(2t+2t^2))dt $

Pongo $ t + t^2 = q, (1+2t)dt = dq $ e rimuovo il primo fattore, e il resto è semplice.

Risulta:

$ Phi (t) = c_0e^-(1/4(2t+2t^2 + sin(2t+2t^2))) + $
$ + e^-(1/4(2t+2t^2 + sin(2t+2t^2)))int(1+2t)cos(t+t^2)(1 + 1/2sin(2t+2t^2))e^(1/4(2t+2t^2 + sin(2t+2t^2)))dt $

E qui mi blocco. Faccio la stessa sostituzione di cui prima, rimuovo il primo fattore, ma il resto?

[ampetrosillo]

Nessuno mi sa aiutare?

[ciampax]

Secondo me c'è qualcosa che non torna. Avrebbe senso se il termine noto fosse
$$(1+2t)\cos^2(t+t^2)\left(t+\frac{1}{2}\sin(2t+2t^2)\right)$$
perché così com'è ti assicuro che l'integrale non lo risolvi analiticamente.

[ampetrosillo]

Ecco la traccia:



Si, se il termine coseno fosse stato al quadrato, avrei potuto (forse) integrare per parti.

Comunque i solver online riescono a tirarci fuori una primitiva, non capisco come facciano però.

[ciampax]

Perché ti metteranno una soluzione iterata, ovviamente. Maple fa questo, infatti, con una soluzione iterata con integrali vari.

[ampetrosillo]

Sta di fatto che è un esercizio d'esame. Come si risolve?

[ciampax]

Ripeto: io credo che ci sia un errore nella traccia. Probabilmente in sede d'esame il docente se ne è accorto è l'ha comunicato, ma non ha modificato il testo originale. Perché ti assicuro che se provi a risolverlo, esci pazzo.

[ampetrosillo]

In realtà sono già uscito pazzo sono due giorni che, nei ritagli di tempo, ritorno sull'esercizio, provando in mille modi a risolverlo, ma nulla. Anch'io avevo immaginato una cosa simile, in realtà...

[ciampax]

Mmmm, oddio, forse un'idea mi è venuta... ma non so quanto sia semplice. Fammici provare e ti dico.

[ciampax]

Una questione: ma l'esame cos'è? Analisi 1? O qualcos'altro? Le ODE vengono trattate in forma classica, o magari avete fatto altri metodi di soluzione (tipo trasformate di Laplace?)