funzione integrale derivata prima

[ramarro]

Ciao, ho questo esercizio
$F(x)=$$int ((t^2+t)/(t^4+1))dt$
determinare gli intervalli di crescenza o decrescenza della funzione $F(x)$
Allora un ragionamento potrebbe essere quello di dire che il numeratore è positivo e che tutto è positivo quindi dichiarare che la mia funzione è sempre crescente....pero se l'esercizio fosse un po più difficile non potrei applicare questo ragionamento ma dovrei svolgerlo passo passo....
Ho cosi lasciato perdere questo ragionamento per cercare una via più matematica ma non ci riesco:
Ho preso la funzione $F(x)=((t^2+t)/(t^4+1))$ ho svolto la derivata prima $(2t^5+t^4-4t^3-4t^2+2t+1)/(t^4-1)^2$ecco ho pensato di usare ruffini: ho usato come fattore $(x+1)$, $(x-1)$, $(x+2)$, $(x-2)$, $(x+3)$, $(x-3)$ ma non sono riuscito a trovare un fattore adeguato.
Ho provato a trovare il divisore del primo coefficiente e dell'ultimo termine pensando che sia una scomposizione di tipo frazionario quindi $1$ $-1$ $1/2$ $-1/2$ ma aanche cosi niente di niente.
Dove sbaglio?
Io volevo usare ruffini per poi studiare il numeraore e calcolarlo per $N>0$ insomma fare un tipico studio del segno e poi avrei trovato l'intervallo di crescenza mettendo un grafico che includesse i valore ricavato dallo studio di $Num$ e di $D$.
Volevo appunto sapere dove fosse l'errore, per favore potreste indicarmi la soluzione?
Grazie
Cordiali saluti

[axpgn]

Scusami ma cosa dice il teorema fondamentale del calcolo integrale? ... e poi tu non hai derivato $F$ ma l'integrando ...

[ramarro]

Il teorema fondamentale del calcolo integrale dice che la derivata della funzione integrale e' uguale alla funzione di partenza. Quindi dovrei fare l integrale e poi derivare, e poi ancora svolgere ruffini?

[stormy]

prima di tutto,mancano gli estremi di integrazione
supponiamo che siano $0$ ed $x$
$ F(x)=int_(0)^(x) f(t) dt $ ;$F'(x)=f(x)$
quindi,nel tuo caso
$F'(x)=(x^2+x)/(x^4+x)$

[ramarro]

grazie stormy, ma come facevi a sapere che gli estremi di integfrazione erano proprio$x$, $0$? cosa sei uno stregone?!
ok allora cosi hai trovato la derivata della funzione...sinceramente pero non ho capito come hai fatto, mi sembra che tu per ora abbia solo sostituito x e 0 a $t$ e poi le hai sommate o sbaglio?
Cioè ti dico io non me la cavo bene a leggere la simbologia ma mi pare che tu abbia scritto:
La derivata di $F(x)$ dove per $F(x)$ si intende è il risultato dell'integraledi $f(t)dt$ che pero non c,onosciamo è uguale alla funzione$f(x)$ che in teoria stava sotto l'integrale senza che nessun membro di essa sia stato sostituito.
Cioè è un po come dire che $int (a-b)dx$ ci da $3$, la derivat di $3$ è $0$...è uguale a una funzione il cui risultato è $0$.
Se non è giusto per fav potresti correggermi questo mio esempio cosi capisco meglio per fav?
e poi potresti dirmi come si preocede nello svolgimeno dell'esercizio?
Grz, scusa ma vorrei veramente sapere come si fanno queste cose, mi scuso per le troppe domande e per le richieste di esempi

[stormy]

gli estremi di integrazione sono un numero ed una variabile :quindi l'integrale tra $0$ e $x$ dà un risultato che dipende da x e quindi è una funzione di x che denotiamo con $F(x)$
per l'esercizio devi fare tutto quello che si fa per uno studio di funzione :cioè,di F(x) devi trovare il dominio( cioè vedere per quali x ha senso fare l'integrale ),trovare le intersezioni con gli assi,determinare il segno(cioè vedere dove l'integrale è positivo e dove è negativo)vedere se ha asintoti,studiare la monotonia esaminando la derivata(che coincide con f(x))
se hai difficoltà ti segnalo questo topic aperto da un moderatore
http://www.matematicamente.it/forum/viewtopic.php?f=36&t=25340

[ramarro]

mi sa che forse intendevi che devo fare tutto lo studio di funzione...allora aspetta,
l'insieme di definizione è $D!=0$ quindi sarà $(-infty;-1)V(-1;+infty)$
studio del segno
da $ (-infty;-1)$ cancello la parte sotto da $(-1;0)$cancello la parte sopra, la restante parte la cancello solo di sotto.
poi faccio la derivata primia e sono fregato perché viene quel polinomiio che ho scritto all inizio cioè $2x^5+x^4-4x^3-4x^2+2x+1$ poi il $D$ è sempre positivo ma il numearatore come faccio a studiarlo?con ruffini e altri metodi come svevo scritto nella mia domanda non riesco a scomporlo e non so pechè

[stormy]

devi studiare $F(x)$ non $f(x)$
comunque è vero che in questo caso i domini delle 2 funzioni coincidono ,ma non con quello che hai scritto tu
poi,ripeto,la derivata di $F(x)$ è $f(x)$
ti conviene dare uno sguardo al topic che ti ho segnalato