Continuità di un funzionale

[DavideGenova]

Ciao, amici! Data l'equazione \(y'=f(x)\) dove $f$ è una distribuzione e posto per ogni funzione fondamentale \(\varphi=\varphi_0+c\varphi_1\) dove $\varphi_0$ è una funzione fondamentale che è derivata di un'altra (cioè \(\varphi_0\in K^{(1)}\)), non sempre la stessa per ogni $\varphi$, e invece $\varphi_1$ è una funzione fondamentale, fissa per tutte le $\varphi$, che non è derivata di alcun'altra, ha come soluzione il funzionale $(y,\varphi)=(f,-\int_{-\infty}^x \varphi_0 '(\xi)d\xi)$, come spiega il Kolmogorov-Fomin, Elementi di teoria delle funzioni e di analisi funzionale, nel capitolo IV, §4, 6.
Non mi è affatto chiaro perché tale funzionale, come dice la traduzione italiana, è continuo, cioè per ogni successione tale che $\varphi_n\to \varphi$, \(\varphi_n'\to \varphi'\),..., \(\varphi_{n}^{(n)}\to \varphi^{(n)}\),... uniformemente si ha, chiamando \(\varphi_{0,n}\) la parte appartenente a \(K\setminus K^{(1)}\) di ogni $\varphi_n$, che $\lim_{n}(f,-\int_{-\infty}^x \varphi_{0,n} '(\xi)d\xi)=(f,-\int_{-\infty}^x \varphi_{0} '(\xi)d\xi) $.

Ora, essendo $f$ continuo per ipotesi, se si avesse che $-\int_{-\infty}^x \varphi_{0,n} '(\xi)d\xi\to -\int_{-\infty}^x \varphi_{0} '(\xi)d\xi$ ogni volta che $\varphi_n=\varphi_{0,n}+c_n\varphi_1$ tende uniformemente a $\varphi=\varphi_{0}+c \varphi_1$, ma non mi è chiaro se avvenga questo...
Qualcuno ne sa qualcosa?
$\infty$ grazie a tutti!!!