Integrale doppio

[Mr.Mazzarr]

Devo calcolare l'integrale doppio:

$int xy dx dy$

In D, regione piana delimitata dalla retta di equazione $y=x-1$ e dalla parabola di equazione $y^2 = 2x + 6$.

Per ottenere gli estremi d'integrazione in dx e in xy, posso mettere a sistema le due equazioni e calcolare i valori si x e y ?

Grazie.

[Mr.Mazzarr]

Quindi andrebbe bene sia il "metodo" che ho detto io che quello scritto poi da te ?

I valori -2 e 4 rispetto ad y li hai ottenuti mettendo a sistema le due equazioni, giusto ?

[Mr.Mazzarr]

Ok, su questo ci sono.

Però noto che hai ottenuto determinati valori di $y$ che non hai usato per ottenere valori di $x$, ma per $x$ ti sei semplicemente ''accontentato'' di lasciare ''intatta'' l'incognita $y$. Così facendo dovrei prima svolgere l'integrale in $dx$ e poi in $dy$.
Io stesso nello studio del sistema ho poi sostituito $y = -2$ e $y = 4$ ottenendo i valori della $x$ compresi tra $-1$ e $5$, quindi svolgendo l'integrale doppio:

$int_{-2}^{4} dy$ $int_{-1}^{5} xy dx$

Ti pare giusto come procedimento ?


Ora, se invece avessi avuto $D = {x in RR^2 : 1 <= x^2 + y^2 <= 9, x <= y}$.
Per calcolare gli estremi d'integrazione non ho due equazioni da mettere a sistema, so solo che il dominio è dato da quella regione di spazio tra due circonferenze di raggio 1 e 9 e che $x <= y$ (equazione della bisettrice di primo e terzo quadrante se non erro). Come potrei procedere per il calcolo degli estremi d'integrazione ?

[Mr.Mazzarr]

L'utilizzo delle coordinate polari nel secondo caso mi sembra molto più semplice.

Ti scrivo un esempio, potresti gentilmente dirmi se ho ragionato correttamente ?

L'integrale doppio è

$int_{D} x/((x^2+y^2)^2) dxdy$

$D = { x in RR^2 : x^2+y^2 <= 1, y >= 1 - x}$

Semplicemente si può scrivere che:

$1 - x <= y <= sqrt(1 - x^2)$
$0 <= x <= 1$

In realtà , osservando il testo, penso che sia più semplice l'integrale con le coordinate polari.
Volendo portare tutto a coordinate polari, avrei $-1 <= rho <= 1$, mentre per gli estremi d'integrazione di $dtheta$ dovrei lavorare con $y >= 1 - x$. Cioè li devo ricavare dalla disequazione $sentheta + costheta >= 1/(rho)$.

Cosa ne dici ?

[Mr.Mazzarr]

In effetti meglio evitare le coordinate polari.
Con le coordinate cartesiane è tutto più fattibile in questo caso.

Grazie TeM.

[Mr.Mazzarr]

Ragazzi devo calcolare l'integrale doppio di una funzione in un dominio contenuto in una circonferenza $(1, 0)$ e raggio $1$.
Ai fini delle coordinate cartesiane e i rispettivi estremi d'integrazione cambia qualcosa che l'origine della circonferenza è $(1, 0)$ e non $(0, 0)$ ? Oppure posso sempre dire che $0 <= theta <= 2pi$ e $0 <= rho <= 1$ ?

Grazie.

[Mr.Mazzarr]

Devo calcolare l'integrale:

$int_D (2x + y)/(x^2+y^2) dx dy$

Con D che è il dominio contenuto nella circonferenza d'origine $(1, 0)$ e raggio $1$.

[ciampax]

Secondo me l'integrale viene fuori differente, non credi TeM?

[ciampax]

Ah no, ho letto io "male": pensavo avessi usato le coordinate polari traslate.

[Mr.Mazzarr]

TeM mi spiegheresti per favore come hai ottenuto la disequazione:

$(x - 1)^2 + y^2 <= 1$

Se fosse stato di centro $(0, 0)$ avrei semplicemente scritto $x^2 + y^2 <= 1$, ma hai appunto sottratto il valore dell'ascissa ad $x$ ? Quindi se fosse stato di centro $(0, 9)$ avresti scritto:

$x^2 + (y - 9)^2 <= 1$

Oppure ho capito totalmente male ?