Esercizio Conservazione Energia

[Max27]

Salve a tutti!

Ho qualche difficoltà con questo esercizio:

Un oggetto di massa $m=200g$ viene appoggiato su un piatto metallico di massa $M=800g$, sostenuto da una molla di massa trascurabile, di costante elastica k. A causa del peso dell'oggetto e del piatto, la molla è compressa di una lunghezza $xo=2 cm$. Si comprime ulteriormente la molla di una lunghezza x1, lasciandola successivamente libera. Calcolare il massimo valore di x1 affinché l'oggetto rimanga aderente al piatto.¹

Innanzitutto trovo K da $ K = ((m+M)g)/(xo) = 490.5 N/m $


io avevo impostato una soluzione del genere:

Abbassando la molla e tenendola ferma la massa e il piatto partono da velocità nulla e voglio che quando la molla si arresti entrambi abbiano nuovamente velocità nulla, quindi ho pensato subito che la variazione di energia cinetica doveva essere nulla e quindi essendoci soltanto forze conservative (energia potenziale ed energia della forza elastica) ho impostato il problema in questo modo:

$ W = -Delta Eel -Delta Ep = Delta Ek = 0 $
quindi

$-(1/2kxo^2-1/2kx1^2)-((m+M)gxo-(m+M)gx1)=0$
$-1/2kxo^2+1/2kx1^2-(m+M)gxo + (m+M)gx1=0$

risolvendo l'equazione ottengo due risultati che sono $x1=0.02m$ che è $xo$ e $x1=-0.06m$, che però significherebbe che invece di comprimerla la starei allungando.

Mentre nelle sue soluzioni lui considera il punto dove viene compressa la molla come $x=0$ e che tutta l'energia della molla si trasforma in energia potenziale
$1/2kx1^2-(m+M)gx1=0$
ottenendo $x1=0.04m$, che se consideriamo x=0 come lunghezza di riposo sarebbe $x1=0.06m$, che è il risultato che ho ottenuto io soltanto che il mio è negativo; è soltanto una coincidenza? Dove sbaglio?

Grazie mille in anticipo!

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Note

1. Esercizio 4.26 Mazzoldi Elementi ↑

[Pippo0206]

Non vorrei dire una cavolata ma io non avrei considerato negativa l'energia potenziale elastica. Perché l'hai considerata negativa e hai scritto $1/2k x0^2 - 1/2k x1^2$ ? Sarebbe $1/2k x1^2 - 1/2k x0^2$ no?

[Max27]

Dici internamente alla parentesi? io ho considerato come punto di partenza $x1$ e come punto di arrivo $xo$, quindi essendo $W = -DeltaEel$, cioè: [meno (l'energia iniziale meno quella finale)] --> $W=-(1/2kxo^2-1/2kx1^2)$. Sto sbagliando?

Risolvendo l'equazione come dici tu mi verrebbe un unica soluzione che è $xo=0.02m$, che è diversa da quella delle soluzioni.

[Pippo0206]

Scusa il ritardo. Si io dico li tra le parentesi. Ma è giusto comunque come hai detto tu. Poi considerando come $x0' = 0$ il punto dove la molla è stata compressa solo dalla forza peso dei due corpi ti dovresti ricavare $x1'$ , sapendo che $x0'$ però è uguale a $x0=0.02 m$ ti ricavi $x1$ che cerchi.
$W= -(1/2kxA^2 - 1/2kxB^2)$
$W= -(mgxA - mgxB)$
Considero $xA = x0'=0 $e mi ricavo $xB'$ .
$1/2kxB^2 = mgxB$
$0.5 * 490.5 *xB'^2 = 1 * 9.81 *xB' , 245.25*xB'^2 - 9.81*xB' = 0 , xB'(245.25*xB' - 9.81) = 0 , 245.25*xB' = 9.81 , xB'=0.04 .$
A questo punto sapendo che $xA = x0'= 0.02m $posso ricavarmi $xB = xB' + 0.02 = 0.06 m .$
Spero di non aver detto delle ciarlatanate o inventato qualcosa. Se così fosse ti chiedo scusa e sicuramente qualcuno ti risponderà nel modo giusto.

[Max27]

ok ok, così non c'è problema, ponendo il punto di arrivo come zero si ottiene alla fine $x1=0.06m$, come ha anche fatto nella soluzione dell'esercizio. Però quello che non capisco è che se considero il punto di arrivo non come $xo=0$, ma come effettivamente $xo=0.02m$, non arrivo alla stessa soluzione, ma a $x1=-0.06m$, in cui non riesco a dare un senso al segno negativo.

[Pippo0206]

Penso che ci sia un segno meno dove non dovrebbe esserci. Il lavoro dato da un energia potenziale è:
$W= -(Ep2- Ep1)$
Quindi sarebbe come dire $W=(Ep1 - Ep2) $. Mi pare che tu abbia messo un meno di troppo.
Cioè scusa, dipende come consideri $x0 $ e $x1$ .

[Max27]

ma i segni dovrebbero essere giusti per come ho considerato il sistema, $xo$ di arrivo e $x1$ di partenza...

[Pippo0206]

Se consideri $x1$ come partenza e $x0 $ di arrivo, allora per l'energia potenziale elastica ti viene :
$ 1/2 k x1^2 - 1/2 k x0^2 $
Tu avevi scritto che il lavoro considerando l'energia potenziale è (meno(energia potenziale iniziale meno energia potenziale finale). Invece è (meno(energia potenziale finale meno energia potenziale iniziale) ----> (energia potenziale iniziale meno energia potenziale finale).

[Max27]

Si si, era un errore di segno. Grazie mille!!!