[ESERCIZIO] - Campo di riducibilità

[caty89]

Buongiorno. Ho un esercizio sui polinomi e vorrei una mano.

Ho il polinomio \(\displaystyle f(x) = x(x + 1)(x^4 + x^3 + x^2 + x +1) \in Z_2[x]\) e devo costruirne un campo di spezzamento.
Verifico che \(\displaystyle g(x) = x^4 + x^3 + x^2 + x +1 \) è irriducibile in \(\displaystyle Z_2[x] \) quindi posso costruire il campo \(\displaystyle E := \frac{Z_2[x]}{(g(x))} \), di ordine \(\displaystyle 2^4 = 16 \), e so che è un campo in quanto, essendo \(\displaystyle g(x) \) irriducibile, \(\displaystyle (g(x)) \) è un ideale massimale.
Gli elementi del campo sono della forma \(\displaystyle E = \{a_0 + a_1c + a_2c^2 + a_3c^3, a_i \in Z_2 \forall i = 0, ..., 3\) \(\displaystyle t.c.\) \(\displaystyle c^4 = c^3 + c^2 + c + 1\} \). Fin qui è giusto?

Detta \(\displaystyle \xi \) una radice di \(\displaystyle g(x) \), si ha \(\displaystyle g(\xi) = \xi^4 + \xi^3 + \xi^2 + \xi + 1 = 0 \) quindi \(\displaystyle \xi^4 = \xi^3 + \xi^2 + \xi + 1\) e \(\displaystyle g(x) \) è divisibile per \(\displaystyle x - \xi \). Giusto?

Ho la sensazione di aver fatto un gran casino...

[caty89]

uppo da sola!

[Stickelberger]

Il polinomio irriducibile $x^4+x^3+x^2+x+1$ ha grado $4$
e quindi il tuo campo $E$ ha cardinalita' $2^4=16$.

[caty89]

Il polinomio irriducibile $x^4+x^3+x^2+x+1$ ha grado $4$
e quindi il tuo campo $E$ ha cardinalita' $2^4=16$.

giusto, hai ragione. ora correggo.
per caso mi diresti se è il procedimento è corretto e come completare il tutto?
non padroneggio ancora bene l'argomento...