Conoscete questa curva?

[Spremiagrumi]

http://www.wolframalpha.com/input/?i=pa ... t%29%29%29

E' sicuramente una curva piana, la torsione è nulla e la curvatura è uguale a $1/cosh(t)^2$

[j18eos]

Così, ad occhio, questa curva è ottenuta come intersezione delle superfici:
\[
\begin{cases}
x^2+y^2-z^2-2(2x-1)=0\\
x=\sqrt{3}y
\end{cases}
\]

[Spremiagrumi]

Ho sbagliato la curvatura è uguale a 1. Quella roba dovrebbe essere una circonferenza allora. Solo che cercando di porla in coordinate cartesiane mi da un' ellisse

[Spremiagrumi]

ok ho risolto, confermo che è una circonferenza anche se a prima vista no si direbbe. l'eq cartesiana è $x^2+y^2-1=0$

[ciampax]

A me non pare proprio. L'equazione cartesiana è quella che ti ha scritto j8eos... se fosse come dici tu, dovrebbe stare su un piano del tipo $z=c$ costante.
E tra l'altro ti faccio presente che UNA equazione in $RR^3$ dà luogo ad una superficie, non una curva (quella che hai scritto è l'equazione di un cilindro).

[Spremiagrumi]

dovrebbe essere una curva in tre dimensioni (generalmente), ho solo un parametro t. Come faccio ad avere una superficie? E poi quella nel grafico è una semplice curva. E inoltre la curvatura è uguale ad 1.
Oltre tutto la torsione è nulla e quindi sta in un piano. Sarà anche l'intersezione di quelle superfici, ma questa roba deve essere un circonferenza. Altrimenti dire che non ci ho capito nulla è un eufemismo.

O ti riferivi che solo la mia equazione è sbagliata? perché quella lo è eccome!

Ok, non cancello il messaggio ma modifico, stai parlando della solo eq cartesiana, vero? si ho fatto lo stesso errore dappertutto passando da parametrico a cartesiana. Praticamente cercavo di risolvere il sistema.
Quello che mi preme sapere è: la curva è una circonferenza?
E ancora che passaggi devo fare per ottenere la rappresentazione cartesiana scritta dal primo utente?

[ciampax]

Per prima cosa puoi osservare che, dalle espressioni parametriche si ha $x/y=\sqrt{3}$, e quindi la seconda equazione (quella del piano). Ora, sempre dalle prime due espressioni parametriche, otteniamo
$$x^2+y^2=\frac{3}{4}(\tanh t+1)^2+\frac{1}{4}(\tanh t+1)^2=(\tanh t+1)^2=\tanh^2 t+1+2\tanh t$$
Dal momento che
$$z^2=\frac{1}{\cosh^2 t}=\frac{\cosh^2 t-\sinh^2 t}{\cosh^2 t}=1-\tanh^2 t\ \Rightarrow\ \tanh^2 t=1-z^2$$
e che
$$\tanh t=\frac{2x}{\sqrt{3}}-1,\qquad \tanh t=2y-1$$
si ha
$$x^2+y^2=2-z^2+2(2y-1)=2-z^2+2\left(\frac{2x}{\sqrt{3}}-1\right)$$
Per cui, scegliendo una delle due espressioni (ad esempio la prima) si ottiene
$$x^2+y^2=-z^2+4y\ \Rightarrow\ x^2+y^2+z^2-4y=0$$
Quest'ultima è l'equazione di una sfera, che può mettersi nella forma
$$x^2+(y-2)^2+z^2=4$$
(sfera di centro $C(0,2,0)$ e raggio $r=2$). Per cui la curva data è intersezione tra una sfera e un piano e, di conseguenza, una circonferenza.