Dimostrazioni sugli insiemi

[marcus112]

Ho qualche dubbio su queste dimostrazioni:
$1)$Se $A$ è un sottoinsieme di $B$ e $B$ un sottoinsieme di $C$ dimostrare che $A$ è un sottoinsieme di$ C$

La dimostrazione mi sembra immediata:
l'inclusione gode della proprietà transitiva, per cui $ AsubeBsubeCrArrAsubeC$
oppure
$AsubeBsubeC=Asube(BsubeC)=Asube(BuuC)=AsubeC$

$2)$
Se $BsubA$, dimostrare che $AuuB=A$ e viceversa.
La dimostrazione mi sembra immediata:
$BsubA=BuuA=A$
oppure
$BsubA hArr x inB->x inA hArr x in B vvx in A hArr x in AuuB hArr x in A$

viceversa:
$BuuA=AhArrBsubA$

[kobeilprofeta]

Qual è il tuo problema? Ti sembra tutto immediato... Cosa non capisci?

[marcus112]

Il mio problema è: le dimostrazioni fatte da me vanno bene o si può fare meglio e diversamente!

[Epimenide93]

mi spiace, ma ho qualche brutta notizia...

l'inclusione gode della proprietà transitiva

È esattamente quello che ti si sta chiedendo di dimostrare!

$AsubeBsubeC=Asube(BsubeC)=Asube(BuuC)=AsubeC$
[...]
$BsubA=BuuA=A$

Sono scritture prive di senso. $AsubeBsubeC=Asube(BsubeC)$

$x inB->x inA hArr x in B vvx in A$

Perché mai?

viceversa:
$BuuA=AhArrBsubA$

Anche ciò andrebbe dimostrato.

Così come le hai scritte, le dimostrazioni sono tutte sbagliate. Un suggerimento: usa le definizioni delle operazioni tra insiemi.

[vict85]

Non per fare il pignolo ma la scrittura \(\displaystyle A\subseteq (B\subseteq C) \) non ha alcun senso. Questo perché \(\displaystyle \subseteq \) non è una operazione. Bisogna fare attenzione a queste cose.

Ciò che devi dimostrare è che \(\displaystyle A\subseteq B \wedge B\subseteq C \) implica \(\displaystyle A\subseteq C \). La scrittura \(\displaystyle A\subseteq B\subseteq C \) serve ad indicare questo situazione ma è, dal punto di vista formale, una forzatura. I matematici non sono troppo fiscali rispetto a questo tipo di forzature. Ma se il tuo scopo è dimostrarla allora non puoi usarla e soprattutto non puoi usare le scritture \(\displaystyle A\subseteq (B\subseteq C) \) e \(\displaystyle (A\subseteq B)\subseteq C \) che non hanno alcun senso matematico (e la cui interpretazione è per me piuttosto difficile).

[marcus112]

$ 1) $Se $ A $ è un sottoinsieme di $ B $ e $ B $ un sottoinsieme di $ C $ dimostrare che $ A $ è un sottoinsieme di$ C $

Proviamo di nuovo....applicando la definizione di sottoinsieme:
$ AsubeB hArr x inArArrx inB$. Essendo poi $BsubeC rArr x inA hArr x in C rArrAsubeC$

Aspetto suggerimenti da voi esperti

[vict85]

$ 1) $Se $ A $ è un sottoinsieme di $ B $ e $ B $ un sottoinsieme di $ C $ dimostrare che $ A $ è un sottoinsieme di$ C $

Proviamo di nuovo....applicando la definizione di sottoinsieme:
$ AsubeB hArr x inArArrx inB$. Essendo poi $BsubeC rArr x inA hArr x in C rArrAsubeC$

Aspetto suggerimenti da voi esperti

Non esattamente. In particolare c'è un se e solo se sbagliato, ma forse è un typo. Basta usare due volte l'implicazione.

[marcus112]

$ 1) $Se $ A $ è un sottoinsieme di $ B $ e $ B $ un sottoinsieme di $ C $ dimostrare che $ A $ è un sottoinsieme di$ C $

Forse andrebbe meglio così....

$ AsubeB ->x inArArrx inB $. Essendo poi $ BsubeC -> x inA hArr x in C rArrAsubeC $

[Epimenide93]

Al di là delle sottigliezze, c'è un problema serio con \( x \in A \iff x \in C\).

[vict85]

Al di là delle sottigliezze, c'è un problema serio con \( x \in A \iff x \in C\).

Infatti era quello il se e solo se che non andava bene.

Sinceramente ti suggerisco di scrivere le cose a parole. Insomma sia \(\displaystyle x\in A \). Siccome \(\displaystyle A\subseteq B \) allora \(\displaystyle x\in B \). Similmente essendo \(\displaystyle B\subseteq C \) si ha che \(\displaystyle x\in C \). Pertanto \(\displaystyle x\in A \Rightarrow x\in C \), ossia \(\displaystyle A\subseteq C \).

Nulla di più semplice. Insomma se vuoi vederla in modo formalissimo hai usato due volte il modus ponens.

Il secondo esercizio è del tutto analogo.