Massimo volume ellissoide

[melli13]

Sapendo che il volume di un ellissoide si calcola $V=4/3*pi*abc$, determinare l'ellissoide $E_((x,y,z))={(a,b,c) in RR^3: x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2<=1}$ di volume massimo tra tutti quelli che verificano $a+2b+3c=18$.

Ho applicato il metodo dei moltiplicatori di Lagrange, dove $f(a,b,c)=4/3piabc$ e $M={(a,b,c) in RR^3: a+2b+3c-18}$
Quindi una volta risolto il sistema: $\{(4/3pibc-\lambda=0),(4/3piac-2\lambda=0),(4/3piab-3\lambda=0), (a+2b+3c-18=0):}$ trovo che il punto di massimo è $(6,3,2)$ e quindi l'ellissoide di massimo volume è $x^2/36+y^2/9+z^2/4$

Il mio problema è: quali sono le ipotesi per applicare questo metodo? Devo verificare che $\grad M!=(0,0,0)$?
Quindi in questo caso $\grad M=(1,2,3)$ e allora è ok
Oppure non è così? C'è dell'altro? Grazie ancora

[ciampax]

Basta che la funzione $f$ e il vincolo $M$ siano $C^1$

[melli13]

Ma il vincolo M non deve essere una varietà?

[ciampax]

E secondo te un piano non è una varietà?

[melli13]

Eh si..ma lo devo giustificare in qualche modo no?

[ciampax]

La funzione che definisce un piano è $C^\infty$ per cui...

[melli13]

Ok grazie..adesso è tutto più chiaro