Metodo delle caratteristiche in $RR^n$

[mastro871]

Ciao a tutti, di nuovo ho un problema con un esercizio sul metodo delle caratteristiche.
Trovare $u=u(vec x,t)$,$vec x inRR^n,t>0$ che soddisfa
$(delu(vec x,t))/(delt)+c\gradu(vec x,t) +du(vec x,t)=0$
$u(vec x,0)=u_0(vec x):$
dove $cinRR^n,dinRR$
In questo caso posso procedere in maniera tradizionale e scrivere
$(du(X(t),t))/dt=(delu(X(t),t))/(delt)+X'(t)\gradu(X(t),t)$
da cui
$(du(X(t),t))/dt+du(X(t),t)=0$
dunque risolvere questa ODE e poi tutto il resto del metodo?
Oppure ho scritto delle enormi cavolate e si procede in maniera del tutto diversa?

[ciampax]

L'ultima cosa è vera supponendo che $X'(t)=c$... comunque io non capisco perché non usi la scrittura "standard" del sistema delle caratteristiche, che faresti prima.

[mastro871]

Grazie della risposta, che intendi per metodo standard ?

[ciampax]

Intendo questo:
considero un aperto $U\subset RR^n$ e l'equazione alle derivate parziali non lineare del primo ordine
$$F(Du,u,x)=0,\qquad u(x)=g(x),\ x\in\Gamma=\partial U$$
dove $F:RR^n\times RR\times\overline{U}\rightarrow RR$, $x\in U$ e $u:\overline{U}\rightarrow RR$ è l'incognita, con $Du=(u_{x_1},\ldots,u_{x_n})$ il vettore delle derivate prime.

Usiamo la seguente notazione: se indichiamo con $\mathbf{x}(s)=(x_1(s),\ldots,x_n(s))$ la curva caratteristica, allora poniamo
$$\mathbf{p}(s)=(p_1(s),\ldots,p_n(s))=Du(\mathbf{x}(s))\ \Rightarrow\ p_j(s)=u_{x_j}(\mathbf{x}(s)),\ \forall\ j=1,\ldots,n\\ z(s)=u(\mathbf{x}(s))\\ F(\mathbf{p}(s),z(s),\mathbf{x}(s))=0$$
Il sistema delle equazioni carratteristiche associate all'equazione di partenza risulta allora il seguente
$$\left\{\begin{array}{l}
\dot{\mathbf{p}}(s)=-D_x F(\mathbf{p}(s),z(s),\mathbf{x}(s))-D_z F(\mathbf{p}(s),z(s),\mathbf{x}(s))\mathbf{p}(s)\\
\dot{z}(s)=D_p F(\mathbf{p}(s),z(s),\mathbf{x}(s))\bullet\mathbf{p}(s)\\
\dot{\mathbf{x}}(s)=D_p F(\mathbf{p}(s),z(s),\mathbf{x}(s))
\end{array}\right.$$
dpve $D_x,\ D_p$ rappresentano i gradienti rispetto alle variabili $x,\ p$, e $D_z$ la derivata rispetto a $z$ e il punto il prodotto scalare.

In questo modo il tutto diventa più semplice. Infatti, nel tuo caso, possiamo prendere come vettore delle coordinate il seguente: $\mathbf{x}(s)=(t(s),x_1(s),\ldots,x_n(s))$, da cui
$$\mathbf{p}(s)=(u_t(\mathbf{x}(s)),u_{x_1}(\mathbf{x}(s)),\ldots,u_{x_n}(\mathbf{x}(s)))$$
e la funzione $F$ diventa la seguente
$$F(\mathbf{p}(s),z(s),\mathbf{x}(s))=(1,\mathbf{c})\bullet\mathbf{p}(s)+d\cdot z(s)=0$$
Allora il sistema delle caratteristiche diventa
$$\left\{\begin{array}{l}
\dot{\mathbf{p}}(s)=-d\mathbf{p}(s)\\
\dot{z}(s)=(1,\mathbf{c})\bullet\mathbf{p}(s)=-d\cdot z(s)\\
\dot{\mathbf{x}}(s)=(1,\mathbf{c})
\end{array}\right.$$
che, scritto per componenti, diventa, indicando con $p_0=u_t$
$$\left\{\begin{array}{l}
\dot{p}_j(s)=-d p_j(s)\qquad j=0,\ldots,n\\
\dot{z}(s)=p_0+\sum_{j=1}^n c_j p_j(s)=-d\cdot z(s)\\
\dot{x_j}(s)=c_j\quad \dot{t}(s)=1,\qquad j=1,\ldots,n
\end{array}\right.$$
Osserva che le equazioni per $p_j$ sono "inutili" dal momento che, quello che ci serve, è solo capire come sono fatte le caratteristiche (equazioni per le $x_j,\ t$) e la soluzione (equazione per $z$). Risolvendo allora le ultime equazioni si ha
$$x_j(s)=c_j s+K_j,\qquad t(s)=s+K_0$$
dove $K_j,\ K_0\in RR$ e inoltre
$$z(s)=K e^{-d s}$$
con $K$ costante arbitraria. Ora, come troviamo la soluzione? Bisogna usare ovviamente la condizione al contorno: osserva che nel tuo caso $U=(0,+\infty)\times RR^n$ e che quindi $\Gamma=\{0\}\times RR^n$ (dove è definita la funzione $u_0$). Consideriamo il generico punto $(t,x_1,\ldots,x_n)$ che si trovi lungo le caratteristiche, cioè
$$(t,x_1,\ldots,x_n)=(s+K_0,c_1 s+K_1,\ldots,c_2 s+K_n)$$
Dovendo aversi, su $\Gamma$, $t=0$, possiamo imporre che $K_0=0$ in modo che $t(0)=0$. Inoltre segue che $t(s)=s$ e quindi che per le variabili $x_j=c_j t+K_j$. Inoltre, quando $t=0$ si ha $x^0_j=x_j(0)=K_j=x_j-c_j t$, per cui tali costanti corrispondono ai valori delle coordinate sul bordo. Inoltre, per $s=0$ si ha
$$K=z(0)=z(0,x_1(0),\ldots,x_n(0))=u_0(x^0_1,\ldots,x^0_n)$$
Allora si ha
$$u(t,x_1,\ldots,x_n)=u(t(s),x_1(s),\ldots,x_n(s))=z(s)=u_0(x^0_1,\ldots,x^0_n) e^{-ds}=\\
=u_0(x_1-c_1 t,\ldots,x_n-c_n t) e^{-dt}$$
che è la soluzione cercata.