teorema della media per integrali doppi

[joelina89]

Ciao ragazzi!
ho un problema con il teorema della media per gli integrali doppi. Dovrei dimostrarla. ma mi risulta davvero difficile.
Non riesco proprio ad impostarla.
Potreste darmi una mano??!
Grazie in anticipo

[ciampax]

La dimostrazione è sostanzialmente identica a quella in una variabile. Parti da una funzione continua su un compatto $A$: allora puoi applicare Weierstrass e dire che esistono max e min assoluti di $f$ su $A$. Pertanto
$$m\le f(x,y)\le M$$
per ogni $(x,y)\in A$. Integrando su tutto $A$ si ha, indicando con $|A|=\int\int_A \ dx\ dy$
$$m|A|\le\iint_A f(x,y)\ dx\ dy\le M|A|$$
e quindi
$$m\le\frac{1}{|A|}\iint_A f(x,y)\ dx\ dy\le M$$
Ora, per il teorema di Darboux, la funzione $f(x,y)$ assume tutti i valori nell'intervallo $[m,M]$: pertanto esiste un punto $(x_0,y_0)\in A$ tale che $f(x_0,y_0)=\frac{1}{|A|}\int\int_A f(x,y)\ dx\ dy$.

[joelina89]

Grazie. E' tutto molto chiaro