ho un problema in questo esercizio :
Allora mi sono trovato un integrale primo del tipo
$ E_1(vartheta,dotvartheta)=m/6dottheta^2 +kcos^2theta $
e ne devo fare un' analisi qualitativa con particolare attenzione all' esistenza di soluzioni periodiche non banali.
Premetto che nella prima parte dell' esercizio che non sto qui a riportare ho trovato in tutto 4 posizioni di equilibrio ,
$ (x,theta)=(0,+-pi/2) $ stabili
$ (x,theta)=(k/(mg+k),pi) $ e $ (x,theta)=(-k/(mg+k),0) $ instabili .
Da quello che so , io farei due sole distinzioni :
Se $E_1=0$ il moto della coordianata è stazionario intorno a una delle posizioni di equilibrio stabile.
Se $E_1>0$ il moto è periodico attorno a una delle posizioni di equilibrio e di egual periodo .
Tuttavia mi si presentano altre ipotesi che non pensavo di dover considerare , vorrei capire il perché di queste
distinzioni. Questa è la soluzione riportata dalla raccolta di ex.
Se $E_1=0$ il moto della coordianata è stazionario intorno a una delle posizioni di equilibrio stabile.
Se$0<E_1>k$ il moto è periodico attorno a una delle posizioni di equilibrio e di egual periodo in entrambi i casi .
Se $E_1=k$ il moto della coordianata è stazionario intorno a una delle posizioni di equilibrio instabile, oppure lungo
un' orbita eteroclina che connette tali punti.
Se$E_1>k$ si ha che il moto della sbarretta è periodico di periodo $ T_1(E_1)=int_(0)^(2pi) dvarthetasqrt((m)/(6(E_1-kcos^2) $
Grazie per l' aiuto.
