funzioni iperboliche

da **Steven** » 08/12/2006, 19:57

Ciao a tutti, inserisco qui questo intervento perchè credo che l'argomento non riguarda il liceo.
Attualmente al liceo sto studiando trigonometria, ma ho sentito parlare di seno e coseno iperbolico.
Con semplici parole, potete dirmi in cosa consistono e che applicazioni trovano? Grazie

da **luca.barletta** » 08/12/2006, 20:06

Sono definite così:

$Ch(x)=(e^x+e^(-x))/2$
$Sh(x)=(e^x-e^(-x))/2$

da **fireball** » 08/12/2006, 20:08

Sono soltanto dei nomi per ricordarsi di certe funzioni un po' "speciali"... Si definiscono:
$"Sh"x:=(e^x-e^(-x))/2$ (seno iperbolico di x)
$"Ch"x:=(e^x+e^(-x))/2$ (coseno iperbolico di x)
$"Th"x:=(e^x-e^-x)/(e^x+e^-x)$ (tangente iperbolica di x)
Si sono scelti questi nomi perché tra queste
funzioni esiste una relazione analoga al principio
fondamentale della goniometria:
$"Ch"^2x-"Sh"^2x=1$ per ogni $x in RR$.
Probabilmente si sono scelti questi nomi anche per il
fatto che è possibile definire seno e coseno trigonometrici
mediante l'esponenziale complesso. Infatti, anziché
definire il seno come un'ordinata di un punto, si può definire:
$sinx:=(e^(ix)-e^(-ix))/(2i)
$cosx:=(e^(ix)+e^(-ix))/2

da **giuseppe87x** » 08/12/2006, 20:20

Aggiungo qualcos'altro a quanto detto da Luca.
Si dimostra che la funzione $sinh(x):RR->RR$ è biettiva e dunque invertibile; si definisce l'applicazione inversa settore senoiperbolico mediante la legge $set t sinh(x)=ln[y+sqrt(y^2+1)]:RR->RR$.
La funzione $cosh(x)$ è suriettiva in $[1, +infty[$ e mediante opportune restrizione si può definire l'applicazione inversa settore coseno iperobolico.
Esiste anche una funzione tangente iperbolica anch'essa biettiva e quindi invertibile.
Sono funzioni utili nella risoluzione di certi tipi di integrali.
Due curiosità: si chiamano iperboliche perchè soddisfano la relazione $cosh^2x-sinh^2x=1$ che ha la forma dell'equazione di un'iperbole; se prendi un filo e appenti le estremità tra due punti allineati orizzontalmente, il filo pende e assumerà la forma della funzione $coshx$.

da **wedge** » 08/12/2006, 20:23

mi permetto di aggiungere un'altra proprietà carina:
per le formule iperboliche valgono tutte le identità delle formule trigonometriche (addizione, bisezione, eccetera): basta sostituire sin con sinh e cos con cosh, avendo unicamente l'accortezza di cambiare il segno quando compare il prodotto tra due seni iperbolici.
anche la relazione fondamentale obbedisce a questa regola, infati cos^2(x)+sin^2(x)=1 diventa cosh^2(x)-sin^2(x)=1

l'applicazione più elementare delle formule iperboliche si ha negli integrali per sostituzione... ad esempio quando dobbiamo calcolare l'integrale di $sqrt(1+x^2)$

da **fireball** » 08/12/2006, 20:23

Forse il motivo per cui è stata usata la parola "iperboliche" è questo.
L'ellisse riferita al centro e agli assi di equazione
$x^2/a^2+y^2/b^2 = 1$ si può parametrizzare
in funzione di $t in [0,2pi)$ come:
${(x(t)=acost),(y(t)=bsint):}
Invece l'iberbole riferita al centro e agli
assi di equazione $x^2/a^2-y^2/b^2=1$
si può parametrizzare così:
${(x(t)=a"Ch"t),(y(t)=b"Sh"t):}$, $t in RR$

da **giuseppe87x** » 08/12/2006, 20:29

Scusa fireball non avevo visto la tua risposta mentre postavo.

da **fireball** » 08/12/2006, 20:31

Ma no! Abbiamo postato un po' tutti quanti insieme...
E poi per quale cavolo di motivo scusarsi?!?!?!!!? Ci mancherebbe altro...

da **wedge** » 08/12/2006, 20:34

fireball ha scritto:Ma no! Abbiamo postato un po' tutti quanti insieme...

è vero, Steven non può che essere contento

da **Steven** » 08/12/2006, 23:47

wedge ha scritto:
fireball ha scritto:Ma no! Abbiamo postato un po' tutti quanti insieme...

è vero, Steven non può che essere contento

Sono letteralmente commosso :smt022

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