Criterio di cauchy per la convergenza

[alessandrof10]

ragazzi ho un esame a breve e non ho capito bene questo criterio che serve per dimostrare la convergenza di una serie ad esempio io lo sto usando per la dimostrazione della serie armonica ma leggendo l ununciato piu volte non riesco ad immaginarmi quello che significa cioè vi posto il criterio

presa una serie $\sum_(k=0)^infty a_k$ è convergente se solo se

per ogni $\epsilon>0$ esiste un $n_\epsilon$ che appartiene hai numeri naturali tale che per ogni $n>n_\epsilon$ e per p=0,1,2,n

risulta $|\sum_(k=n)^(n+p) a_k|=|a_n+a_(n+1)+a_(n+2)+a_(n+p)|<\epsilon$

volevo sapere se questo $\epsilon$ è un numero naturale oppure è una quantità infinitesima poi questo $n_\epsilon$ essendo un numero naturale significa che è un numero qualsiasi dei naturali ??
per quanto riguarda la tesi il senso di scrivere che epsilon deve essere maggiore delle somme parziali significa che la somma deve essere finita a qualche numero ??? cioè vista da un altro punto di vista significa che la somma non deve andare all infinito ???

grazie per i chiarimenti

[walter89]

scrivere $\forall \epsilon>0 $ significa che a priori $epsilon$ può assumere qualsiasi valore grande o piccolo, solitamente si fanno delle verifiche scegliendo valori piccoli ma non è assolutamente indispensabile

come dici tu giustamente la somma deve essere finita perchè $epsilon$ è un qualsiasi numero ma finito

comunque la serie armonica non converge quindi dovrai verificare che non soddisfa tutte le ipotesi per applicare il criterio

[alessandrof10]

walter grazie di avermi risposto perciò se ho capito bene la serie per convergere deve essere preso un valore tale che la somma degli n termini deve essere comunque minore di questo valore. scusami potresti dirmi esplicitamente quali ipotesi deve soddisfare una serie a finche questa converga ?? nel criterio non ci sono limitazioni o richieste particolari da soddisfare ti dice solo di verificare l ultima disuguaglianza se va bene per ogni numero allora la serie e convergete se invece non va bene per ogni numero tipo la serie armonica in quanto $\epsilon>1/2$ allora la serie è divergente

[dott.ing]

Più precisamente il criterio richiede che per ogni $p\inNN$, $p>=1$ vale $|a_(n+1)+...+a_(n+p)|<\epsilon$.

In altri termini ti dice che, per un opportuno $n$, il valore $p$ può essere fatto crescere a piacere e quella somma (che all'aumentare di $p$ include sempre più termini della serie) rimane finita. Quella somma non è altro che la differenza delle somme parziali $s_(n+p)$ e $s_n$.

Se il modulo di quella differenza rimane finito per tutti i valori di $\epsilon$ (ossia esiste sempre un $n_(\epsilon)$ tale per cui il modulo della somma è inferiore a $\epsilon$ per tutti i naturali maggiori di $n_(\epsilon)$) la serie converge.

Questa richiesta è necessaria e sufficiente: se verificata, infatti, la successione delle somme parziali è una successione di Cauchy; non ci sono altre limitazioni o richieste particolari (mi sembra già abbastanza...).


La serie armonica è divergente non perché $\epsilon>1/2$ ($\epsilon$ è un valore arbitrario) ma perché non esiste $n_(\epsilon)$ per ogni $\epsilon$ tale da soddisfare la disuguaglianza.

Infatti, considerata la somma $\sum_(k=n+1)^(n+p) 1/k=1/(n+1)+...+1/(n+p)>=p1/(n+p)$, ponendo $p=n$ risulta $\sum_(k=n+1)^(2n) 1/k>=1/2$ e quindi la condizione del criterio è violata per $\epsilon<=1/2$.
Il che significa che la disuguaglianza $\sum_(k=n+1)^(n+p) 1/k<\epsilon$ non è verificata per ogni $p$ se $\epsilon<=1/2$ (preso un qualsiasi valore $n$, la condizione $p=n$ rende falsa la disuguaglianza).
Ergo, la serie diverge.

Spero sia un po' più chiaro...

[alessandrof10]

perche dici

Quella somma non è altro che la differenza delle somme parziali $s_(n+p)$ e $s_n$.

questa cosa non lo capita bene poi questo $\epsilon$ deve essere un numero naturale o una quantità infinitesima ???e poi questo $n_\epsilon$ da quanto ho capito è un qualsiasi numero naturale ma perche allora deve essere per forza esplicitato $\epsilon$ nella definizione non si faceva prima a dire preso un qualsiasi numero naturale tale che n e maggiore di questo numero per ogni n appartenente ai naturali ??? e indicando con un qualsiasi numero naturale $n_\epsilon $ quindi si ha che

$n_\epsilon>sum_(k=0)^infty a_k $

[alessandrof10]

leggendo su internet ho trovato una mezza spiegazione cioè uno dice che dato un $\epsilon$ piccolo a piacere.. la serie converge se e solo se ...
è possibile trovare un numero $n_\epsilon$ sufficientemente grande... tale per cui
LA SOMMA DI TUTTI I TERMINI SUCCESSIVI a questo $n_\epsilon$ . . abbia una somma minore (in valore assoluto) di $\epsilon$

cioè da quanto ho capito la serie armonica preso $\epsilon=1/5$ prendendo la serie armonica avremo che 1/10000+1/10001+1/10002... questa sara sicuramente minore di 1/5 ??

[dott.ing]

perche dici

Quella somma non è altro che la differenza delle somme parziali $s_(n+p)$ e $s_n$.

questa cosa non lo capita bene poi questo $\epsilon$ deve essere un numero naturale o una quantità infinitesima ???

La somma parziale $s_(n+p)$ vale $a_1+a_2+...+a_n+a_(n+1)+...+a_(n+p)$, quella $s_n$ vale $a_1+a_2+...+a_n$. Se fai la differenza trovi l'espressione nel modulo.

$\epsilon$ è un qualsiasi numero reale positivo.

e poi questo $n_(\epsilon)$ da quanto ho capito è un qualsiasi numero naturale ma perche allora deve essere per forza esplicitato ε nella definizione non si faceva prima a dire preso un qualsiasi numero naturale tale che n e maggiore di questo numero per ogni n appartenente ai naturali ???

$n_(\epsilon)$ non è un qualsiasi numero naturale... È un numero naturale che dipende da $\epsilon$ tale per cui la relazione $|\sum_(k=n+1)^(n+p) a_k|<\epsilon $ è verificata per ogni $n>n_(\epsilon)$ e per ogni $p inNN^+$.

è possibile trovare un numero $ n_\epsilon $ sufficientemente grande... tale per cui
LA SOMMA DI TUTTI I TERMINI SUCCESSIVI a questo $ n_\epsilon $ . . abbia una somma minore (in valore assoluto) di $ \epsilon $

È la relazione che ho scritto sopra detta a parole.

cioè da quanto ho capito la serie armonica preso $ \epsilon=1/5 $ prendendo la serie armonica avremo che 1/10000+1/10001+1/10002... questa sara sicuramente minore di 1/5 ??

Non capisco da dove hai tirato fuori quei valori...
Ti ho mostrato nel post precedente che se $\epsilon<=1/2$ non c'è alcun naturale $n_(\epsilon)$ tale per cui la relazione $\sum_(k=n+1)^(n+p) 1/k<\epsilon $ è verificata per ogni $n>n_(\epsilon)$ e per ogni $p inNN^+$

Vediamola in numeri. Hai scelto $\epsilon=1/5<=1/2$ .
$n=1$. Allora $\sum_(k=n+1)^(n+p) 1/k$ con $p=n$ vale $\sum_(k=2)^(2) 1/k=1/2$ che non è minore di $1/5$.
$n=2$. Allora $\sum_(k=n+1)^(n+p) 1/k$ con $p=n$ vale $\sum_(k=3)^(4) 1/k=1/3+1/4=7/12$ che non è minore di $1/5$.
E così via...

Infatti ti ho mostrato che $\sum_(k=n+1)^(2n) 1/k$ assume per ogni $n$ valori maggiori o uguali a $1/2$ e quindi mai minori di $\epsilon$ se questo ha valore $1/5$ (o un qualsiasi altro valore in $(0,1/2]$).

[alessandrof10]

grazie dott in quest ultimo post hai chiarito tutti i dubbi come sempre spieghi che è una meraviglia grazie ancora

[dott.ing]

Lieto di esserti stato di aiuto, Alessandro.

Auguri per domani!