definire un dominio limitato

[gemini.93]

salve, ho alcuni problemi nella definizione di funzioni con un dominio chiuso
mi spiego meglio con un esempio
se voglio definire una funzione continua, con f:(0,2)->R discontinua in x=1 e limitata
come faccio a "creare" una funzione del genere ?
o meglio come la devo scrivere (simbolicamente) ?

[billyballo2123]

Bhè... ne hai quante ne vuoi... un esempio è
\[
f(x)=
\left\{
\begin{array}{ll}
0 & \textrm{se }0<x\le 1 \\
1 & \textrm{se }1<x<2
\end{array}
\right.
\]

[gemini.93]

intendo più la forma formale(come l'hai scritta tu) che il creare la funzione
per esempio è corretto scrivere

\(\displaystyle f(x)= \sqrt{1/(x-1)} \) con \(\displaystyle x \in [0, 2] \)

è corretto? ma soprattutto è scritto bene in "matematichese"?

[walter89]

questa non è corretta perchè in $x=1$ non è definita (il denominatore si annulla), da come interpreto il testo la funzione deve essere discontinua in $x=1$ ma deve esistere

ma comunque qual è il tuo problema nello scrivere le funzioni? quella che hai scritto non va bene per l'esercizio ma è a tutti gli effetti una funzione

[gemini.93]

più che altro sono dubbi nella scrittura formale
ad esempio è corretto scrivere \(\displaystyle x \in (0, 2) \) o devo scrivere \(\displaystyle \forall x \in (0, 2) \)
o è uguale?
p.s.
il denominatore non da una discontinuità di 3a specie(quella eliminabile)?
p.p.s.
ti do la traccia come è cosi sicuro non mi confondo

dare la definizione di funzione continua. Fornire inoltre 2 esempi di funzione f:(0, 2)->R discontinua in x=1 e limitata

[walter89]

è corretto scrivere $x \in (0,2)$, il simbolo $\forall$ non si usa in questo contesto

se controlli bene la tua funzione in $x=1$ ha un asintoto verticale, cioè una discontinuità di seconda specie
dal momento che ti serve una funzione limitata la discontinuità deve essere di prima o terza specie

[gemini.93]

Chiarissimo grazie mille!
un esempio come quello fornito da billiballo va più che bene allora
curiosità personale
se invece la volessi non limitata va bene l'esempio che ho fornito?

p.p.p.s(scusa XD)

ad esempio per vedere se ho capito
una funzione f:(0, 10)->R discontinua in x=5



f(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{se }0<x<5 \\ 5, & \mbox{se }5<x<10
\end{cases}
e serve scrivere \(\displaystyle x \in (0, 10) \)?

tutto in una parentesi graffa come nell esempio di billyballo
scusami ma non so ancora usare benissimo LaTex

[walter89]

se scrivi così
\( \displaystyle f(x)=\begin{cases} 0 & \mbox{se }0\end{cases} \)
hai già detto tutto, i valori di $x$ per cui è definita li puoi già leggere senza scrivere altro

basta aprire un qualsiasi libro di analisi per vedere con che sintassi è scritta una funzione...

[Gi8]

Solo un appunto su come è scritto il problema:

... una funzione continua, con $f:(0,2)->RR$ discontinua in $x=1$ e limitata...

Secondo me non ha senso la richiesta di partenza, o meglio c'è qualcosa che non va.
Viene detto che $f$ deve essere continua, dunque deve essere continua su tutto $(0,2)$.
Pertanto necessariamente è continua anche in $x=1$, quindi non può chiedere che sia discontinua in $x=1$.

Bisognerebbe dire così: tovare $f:(0,2)->RR$, continua in $(0,2) \setminus {1}$, discontinua in $x=1$ e limitata.

[gemini.93]

purtroppo l'interpretazione è "libera" ho preso questo esercizio da un vecchio testo di esame del mio professore di analisi, e se ho capito bene dare la definizione di continuità e fare l'esempio sono due cose completamente separate, spero di aver capito bene