Equazioni differenziali lineari

[Arjen10]

Salve a tutti
Nel corso delle mie esercitazioni mi sono imbattuto in equazioni differenziali non omogenee di cui non conosco un metodo per la loro risoluzione:
$y''-y=1/(1+e^x)$ (in un problema di Cauchy con condizioni iniziali $ y(0)=0;y'(0)=0$)

e soprattutto

$y''+y=tanx$ (in un PdC con condizioni $y(0)=0; y'(0)=1$)

Qualcuno puo aiutarmi per entrambe?
Grazie in anticipo.

[ciampax]

Suppongo tu sappia come calcolare la soluzione dell'omogenea, per cui credo il problema stia nel calcolo della soluzione particolare, dico bene? Il metodo da usare è quello della variazione delle costanti. Mai sentito?

[Arjen10]

No Potresti dirmi dove vedere per bene questo metodo?
Io conosco il metodo in cui il termine noto si presenta in tre casi diversi:
1)funzione del tipo $ s(x) . e^(\alpha x)$ con s(x) polinomio di grado n
2)Polinomio semplice di grado n
3)funzione del tipo $h sin (\beta x)+ k cos(\beta x)$

[ciampax]

Guarda, l'idea è abbastanza semplice. Cerco di spiegartela in breve, in ogni caso puoi guardare qui: http://it.wikipedia.org/wiki/Metodo_del ... ndo_ordine

ora, data una equazione differenziale del secondo ordine a coefficienti costanti non omogenea, $y''+a y'+by=r(x)$, supponiamo tu abbia determinato la soluzione dell'omogenea $y(x)=C_1 u_1(x)+C_2 u_2(x)$, dove $u_1,\ u_2$ sono le due soluzioni che vengono fuori dal calcolo delle radici del polinomio $t^2+at+b=0$.

Il metodo consiste nel supporre che la soluzione particolare abbia la forma seguente
$$y_p(x)=C_1(x) u_1(x)+C_2(x) u_2(x)$$
Andando a derivare e sostituire nell'equazione, ciò che si trova è che le funzioni $C_1,\ C_2$ debbano soddisfare il seguente sistema
$$\left\{\begin{array}{l}
C'_1(x)\cdot u_1(x)+C_2'(x)\cdot u_2(x)=0\\ C'_1(x)\cdot u_1'(x)+C'_2(x)\cdot u'_2(x)=r(x)
\end{array}\right.$$
Si dimostra che tale sistema ammette sempre soluzione unica in quanto il determinante della matrice dei coefficienti
$$W=\det\left(\begin{array}{cc}
u_1 & u_2\\ u_1' & u_2'
\end{array}\right)=u_1 u_2'-u_2 u_1'$$
risulta sempre diverso da zero. Si trova allora che
$$C_1'=-\frac{r\cdot u_2}{W},\qquad C_2'=\frac{u_1 r}{W}$$
da cui integrando le funzioni $C_1,\ C_2$, che poi vanno sostituite nell'espressione di $y_p$. Pertanto
$$y_p(x)=-u_1(x)\cdot\int\frac{u_2(x)\cdot r(x)}{W(x)}\ dx+u_2(x)\cdot\int\frac{u_1(x)\cdot r(x)}{W(x)}\ dx$$
Una volta scritta la soluzione completa
$$y(x)=C_1 u_1(x)+C_2 u_2(x)+y_p(x)$$
puoi procedere nel determinare la soluzione del problema di Cauchy come sempre (qui $C_1,\ C_2$ sono le costanti arbitrarie, non le funzioni di prima).

[Arjen10]

Sei stato chiarissimo, ti ringrazio