Prodotto di Cauchy di serie di Fourier

[DavideGenova]

Ciao, amici! Nello spaziodelle successioni (complesse) \(\{x_k\}\) assolutamente sommabili, cioè talei che \(\sum_{k=-\infty}^{\infty}|x_k|<\infty\), si definisca il prodotto \(x\ast y\) tra due tali successioni \(x=\{x_k\}\) e \(y=\{y_k\}\) in modo che l'$n$-esimo elemento della successione prodotto sia\[(x\ast y)_n:= \sum_{k=-\infty}^{\infty}x_{n-k}y_k\]Leggo, nell'appendice a cura di V.M. Tikhomirov al Kolmogorov-Fomin , che, mettendo la successione $x$ in corrispondenza con la serie di Fourier \(x(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}x_k e^{\text{i}kt}\), $t\in[0,2\pi]$, allora la successione \(\{(x\ast y)_k\}\) corrisponde al prodotto delle funzioni \(x(t)\cdot y(t)\).

Ho provato a verificarlo calcolando il prodotto di Cauchy \(x(t)y(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}x_k e^{\text{i}kt} \sum_{k=-\infty}^{\infty}y_k e^{\text{i}kt}\), ma ottengo qualcosa come, sperando di non aver sbagliato,
$x(t)y(t)=(\sum_{k=0}^{\infty}x_k e^{\text{i}kt}+\sum_{k=1}^{\infty}x_{-k} e^{-\text{i}kt}) (\sum_{k=0}^{\infty}y_k e^{\text{i}kt}+\sum_{k=1}^{\infty}y_{-k} e^{-\text{i}kt})$
$=\sum_{n=0}^{\infty}\sum_{k=0}^{n} x_{n-k}y_k e^{\text{i}nt}+\sum_{n=0}^{\infty}\sum_{k=0}^{n} x_{n-k}y_{-k-1} e^{\text{i}(n-2k-1)t}+\sum_{n=0}^{\infty}\sum_{k=0}^{n} x_{-n+k-1}y_{k} e^{\text{i}(-n+2k-1)t}+$
$+\sum_{n=1}^{\infty}\sum_{k=1}^{n} x_{-n+k-1}y_{-k} e^{\text{i}(-n-1)t}$, per verificare l'$m$-esimo coefficiente \((x\ast y)_m\) del quale non saprei neanche come fare...
Suppongo che ci sia un modo più diretto per vedere che, se non interpreto male ciò che dice il libro, \(\sum_{k=-\infty}^{\infty}x_k e^{\text{i}kt} \sum_{k=-\infty}^{\infty}y_k e^{\text{i}kt}=\sum_{k=-\infty}^{\infty}x_{n-k}y_k e^{\text{i}kt}\)...
Grazie di cuore per ogni aiuto!!!

[ciampax]

Indicando $X_k= x_k e^{ikt},\ Y_k=y_k e^{ikt}$ allora l'$n$-imo termine del prodotto di Caychy delle serie $\sum_{k=-\infty}^{+\infty} X_k,\ \sum_{k=-\infty}^{+\infty} Y_k$ corrisponde a
$$C_n=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} X_{n-k} Y_k=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} x_{n-k} e^{i(n-k)t} y_k e^{ikt}=c_n e^{int}$$
dove $c_n=(x\star y)_n$. Per cui come vedi il prodotto delle funzioni $x(t)\cdot y(t)$ è associato alla funzione
$$\sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n e^{int}$$
per cui tale prodotto di funzioni risulta naturalmente associato alla successione $\{c_n\}$ (che è il senso della cosa che ti viene detta).

[DavideGenova]

Ah, ecco...

l'$ n $-imo termine del prodotto di Caychy delle serie $ \sum_{k=-\infty}^{+\infty} X_k,\ \sum_{k=-\infty}^{+\infty} Y_k $ corrisponde a \(C_n=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} X_{n-k} Y_k=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} x_{n-k} e^{i(n-k)t} y_k e^{ikt}=c_n e^{int} \)

Questo come si può vedere? Io so solo che, se almeno una delle successioni \(\{a_n\}_{n\in\mathbb{N}^+}\) e \(\{b_n\}_{n\in\mathbb{N}^+}\) è assolutamente convergente, e qui lo sono entrambe, allora \(\sum_{n=0}^{\infty}a_n\cdot\sum_{n=0}^{\infty}b_n=\sum_{n=0}^{\infty}\sum_{k=0}^n a_{n-k}b_k\), e ho cercato di applicarlo alle serie di sopra con il maldestro risultato di sopra, ma non riesco ad arrangiare i termini per ottenere i $C_n$ della forma \(\sum_{k=-\infty}^{+\infty} a_{n-k} b_k\), cioè \(\sum_{k=0}^{+\infty} a_{n-k} b_k+\sum_{k=1}^{+\infty} a_{n+k} b_{-k}\)...

$+\infty$ grazie!!!

[ciampax]

Davide, mi sa che fai un po' di confusione. Non è una questione di convergenza o altro, qui si parla di serie "formali". Il senso è il seguente: ad ogni successione $\{x_k\}$ puoi associare una serie, formale data da $x(t)=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} x_k e^{ikt}$. Il succo del discorso che ti sta facendo è che se prendi le successioni $\{x_k\},\ \{y_k\}$ a cui sono associate le funzioni $x(t),\ y(t)$, al prodotto $x(t)\cdot y(t)$ viene associata la serie $\{c_k=(x_k\star y_k)\}$.
Il calcolo che fai tu è sbagliato proprio "a priori": per definizione, il prodotto alla Cauchy di due serie di termini $a_n,\ b_n$ è la serie con termine generale $c_n=\sum a_{n-k} b_k$. Punto.

[DavideGenova]

Capito. Quanto a \(\sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n e^{int}\) con i $c_n$ calcolati come sopra, possiamo sapere se, comunque, converge quando almeno una, o tutte e due, le successioni \(\{x_k e^{ikt}\}\) e \(\{y_k^{ikt}\}\) sono assolutamente sommabili e se converge proprio a \(x(t)y(t)\)? Mi sembrerebbe un fatto interessante di per sé... Grazie di cuore ancora!

[ciampax]

Ovvio che sì: lo concludi dallo studio delle serie di funzioni.

[DavideGenova]

Per dimostrarlo è sufficiente sapere che se \(\{a_n\}_{n\in\mathbb{N}^+}\) e \(\{b_n\}_{n\in\mathbb{N}^+}\) sono assolutamente convergenti allora \(\sum_{n=0}^{\infty}a_n\cdot\sum_{n=0}^{\infty}b_n=\sum_{n=0}^{\infty}\sum_{k=0}^n a_{n-k}b_k\) o serve un armamentario teorico più avanzato? Io mi sono imbattuto solo nelle serie di Laurent che abbiano "estremi" entrambi infiniti e non so come trattare tali espressioni, se non scrivendo \(\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_n\) come \(\sum_{n=0}^{\infty}a_n+\sum_{n=1}^{\infty}a_{-n}\), ma così arrivo solo a conti maldestri come quelli di sopra...
Grazie di cuore ancora!!!

[ciampax]

Mah, guarda un po' la teoria delle serie di funzioni, in generale. Comunque la convergenza uniforme di una dovrebbe essere sufficiente.

[DavideGenova]

Grazie ancora!!! Sono quattro giorni che mi ci arrovello, ma non sto trovando niente a riguardo né nei miei libri -ho cercato qui e qui- né in rete e ottengo solo
$(\sum_{k=-M}^{N}a_k)(\sum_{k=-P}^{Q}b_k)=\sum_{k=0}^{N}a_k\sum_{k=0}^{Q}b_k+\sum_{k=1}^{N}a_{-k}\sum_{k=0}^{Q}b_k$ $+\sum_{k=0}^{N}a_k\sum_{k=1}^{P}b_{-k}+\sum_{k=1}^{M}a_{-k}\sum_{k=1}^{P}b_{-k}$ dove $M,N,P,Q$ sono poi da far tendere a $+\infty$, ma, provando qualunque rimaneggiamento di queste somme non arrivo a nulla.
Pensare che sembrerebbe intuitivamente così evidente che, se \( (\sum_{n=0}^{\infty}a_n)(\sum_{n=0}^{\infty}b_n)=\sum_{n=0}^{\infty}\sum_{k=0}^n a_{n-k}b_k \), allora \( (\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_n)(\sum_{n=-\infty}^{\infty}b_n)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\sum_{k=-\infty}^{\infty} a_{n-k}b_k \)...
Grazie di cuore ancora a te e a chiunque altro contibuisca!!!

[ciampax]

Teorema di Mertens: date due serie convergenti a $a$ e $b$ rispettivamente, con una assolutamente convergente, allora la serie prodotto alla Cauchy converge a $c=ab$.