La derivata prima è
$$f'(\psi)=-\frac{2\lambda\cos\psi}{\sin^3\psi}+2\sin\psi\cos\psi$$
per cui i punti critici si hanno per
$$-2\lambda\cos\psi+2\sin^4\psi\cos\psi=0\ \Rightarrow\ 2\cos\psi(\sin^4\psi-\lambda)=0$$
per cui, se $0\ge\lambda\le 1$
$$\psi=\arcsin\sqrt[4]{\lambda},\qquad \psi=\pi-\arcsin\sqrt[4]{\lambda},\qquad \psi=\frac{\pi}{2}$$
altrimenti se $\lambda<0$ o $\lambda>1$ si ha solo il punto $\psi=\pi/2$ (la funzione seno assume solo valori in $(-1,1)$).
Ora, la derivata seconda risulta
1$$f''(\psi)=\frac{2\lambda(\sin^2\psi+3\cos^2\psi)}{\sin^4\psi}+2(\cos^2\psi-\sin^2\psi)$$
Ora
$$f''(\pi/2)=2\lambda-2$$
e quindi tale punto è un massimo se $\lambda<1$, un minimo se $\lambda>1$ e non si può concludere niente se $\lambda=1$ (bisogna analizzare in modo differente).
Invece, dal momento che
$$\cos^2\psi=1-\sin^2\psi\ \Rightarrow\ \cos^2(\arcsin\sqrt[4]{\lambda})=1-\sqrt{\lambda}=\cos^2(\pi-\arcsin\sqrt[4]{\lambda})$$
si ha, per tali valori, che la derivata seconda vale
$$2(4-4\sqrt{\lambda})$$
e quindi si ha, dovendo essere $0\le\lambda\le1$, un punto di minimo quando $0\le\lambda <1$ (mentre, negli altri casi, il valore di tale angolo non è definito).
Restano da analizzare i seguenti casi:
1) $\lambda=0$: la funzione coincide con $f(x)\sin^2 x$ che ha minimo per $x=0,\ x=\pi$ e massimo per $x=\pi/2$;
2) $\lambda<0$: in tal caso l'unico punto accettabile è $\pi/2$;
3) $\lambda=1$: in tal caso la funzione ha derivata prima pari a
$$f'(\psi)=\frac{2\cos\psi(\sin^4\psi-1)}{\sin^3\psi}$$
Dal momento che $\sin\psi> 0$ sul dominio dato, $\sin^4\psi-1\le 0$ e $\cos\psi\ge 0$ su $(0,\pi/2]$, segue che la derivata è negativa su $(0,\pi/2)$, positiva su $(\pi/2,\pi)$ si annulla in $\pi/2$ che risulta, quindi, un punto di minimo.
Docente: Allora, mi dica, se ha una matrice quadrata di ordine [tex]$n$[/tex] qual è il numero massimo di autovalori di questa contati con la loro molteplicità?
Studente: (dopo alcuni istanti di silenzio profondo) [tex]$n\sqrt{2}$[/tex]!!!
