Granieri ha scritto:... come mai gli estremi di integrazione vanno da $ 45° $ a $ 135° $ sottolineando ulteriormente che si tratta di 4 contributi?
Se dai un occhio alla figura, che avevo realizzato tempo fa per scomporre il problema in 8 e non 4 sottoparti componenti, noterai che a partire dal vertice sinistro $x=-a$ l'angolo iniziale sarà $\gamma=\pi/4$, mentre completando il percorso di integrazione in $x=a$ l'angolo finale sarà $\gamma=3/4\pi$
fig,1
Per quanto riguarda la richiesta di
Sirya88Sirya88 ha scritto:... il campo magnetico nel centro generato da uno solo dei lati della spira quadrata di lato 2a dovrei avere
$B=\frac{\mu_0}{4\pi}\int_{\text{lato}} {i \frac{d\vec{l}\times\vec{r}} {r^3}}=
\frac{\mu_0}{4\pi a} 2\int_{\pi/4}^{\pi/2}{i d\theta}$
dove ho notato che $dl=r d\theta$ e $a=r\sin\theta$.
Non capisco invece come possa valere quell'uguaglianza $dl=r d\theta$, in quanto direi che $ r d\theta$ sia solo la componente di $dl$ normale al raggio e quindi $ dl\sin \theta$ (= $ dx\sin \gamma$ nella figura), provando comunque a ripartire dalla legge di Laplace, che riscrivo per avere corrispondenza simbolica all'immagine postata,
$ \text{d}\vec{B}_{C}=\frac{\mu _{0}}{4\pi }i\,\frac{\text{d}\vec{x}\times \hat{u}_{r}}{r^{2}} $
avremo che, limitando l'integrazione a 1/8 della spira, come mi sembra di capire fosse nelle intenzioni di Sirya88 nell'ultimo range di integrazione, avremo che a denominatore rimane un raggio r al quadrato e quindi
$B_{C}=8\int_{0}^{a} \text{d}\vec{B}_{C} =8\frac{\mu _{0}i}{4\pi }\int_{0}^{a} \frac{\sin \gamma }{a^{2}+x^{2}}\text{d} x=\frac{2\mu _{0}i}{\pi }\int_{0}^{a} \frac{a}{(a^{2}+x^{2})^{3/2}}\text{d}x=\frac{\sqrt{2}\mu _{0}}{a\pi}i$