distanza tra due rette nello spazio

Messaggioda glorietta » 11/08/2009, 20:57

Il mio tema d'esame dice:

Date due rette r ed s con

r: $\{(2x - 2y + z + 1 = 0),(y - z = 0):}$ s: $\{(x = k+3),(x + z = k + 2):}$ ,

ponendo k=0 trovare un'equazione della retta di minima distanza edeterminare la distanza tra r ed s.

Per trovare la retta di minima distanza ho trasformato in forma parametrica le due rette e mi risultano:

r: $\{(x = 1/2t - t),(y = t), (z = t):}$ s: $\{(x = 0),(y = h), (z = -1):}$ ,

Dopodichè ho calcolato i parametri direttori che risulatando:

pdr:[(1 ; 2 ; 2)]
pds:[(0 ; 1 ; 0)]

Ho calcolato i punti R ed S per cui passa la retta di minima distanza ovviamente ancora in funzione di un parametro:

$R_t$=( 1/2t - 1/2 ; t; t ) e $S_h$=(3 ; h ; -1)

Dopodichè calcolo i parametri direttori della retta di minima distanza che chiamo a e risultano:

pda=[(t-4; 2t-h; 2t+1)]

e successivamente impongo in un sistema l'ortogonalità tra a ed r e tra a ed s in modo da determinare i parametri t ed h.
Vado a sostituirli nei rispettivi punti R ed S e nei parametri direttori della retta di minima distanza.
La retta di minima distanza mi risulta:

a: $\{(x = 3-18j),(y= 4/5), (z=-1+9j):}$

Ma poi come faccio per calcolare la distanza tra queste due rette nel piano?
glorietta
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Messaggioda VINX89 » 11/08/2009, 21:23

Calcola il punto d'intersezione di a con r, ed il punto d'intersezione di a con s.
Una volta che hai le coordinate dei due punti, puoi trovare la distanza applicando semplicemente la nota formula:

$d = sqrt((x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2 + (z_1 - z_2)^2)$
VINX89
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Re: DISTANZA TRA DUE RETTE NELLO SPAZIO

Messaggioda franced » 12/08/2009, 03:46

glorietta ha scritto:Il mio tema d'esame dice:

Date due rette r ed s con

r: $\{(2x - 2y + z + 1 = 0),(y - z = 0):}$ s: $\{(x = k+3),(x + z = k + 2):}$ ,

ponendo k=0 trovare un'equazione della retta di minima distanza e determinare la distanza tra r ed s.




Scriviamo le equazioni parametriche:

$r : {(x=t),(y=2t+1),(z=2t+1):}$

$s : {(x=3),(y=h),(z=-1):}$

A questo punto mi scrivo il generico vettore differenza:

$((x),(y),(z)) = ((t-3),(2t+1-h),(2t+1+1)) = ((t-3),(2t-h+1),(2t+2))$

e impongo l'ortogonalità con i due vettori direttori:

$((t-3),(2t-h+1),(2t+2)) * ((1),(2),(2)) = 0$

$((t-3),(2t-h+1),(2t+2)) * ((0),(1),(0)) = 0$

si ottiene il sistema lineare seguente:

${(9 t - 2 h + 3 = 0),(2 t - h + 1 = 0):}$

da cui si ottiene

$t = -1/5$ , $h = 3/5$ .

Sostituendo questi due valori nelle rispettive equazioni
si ottengono i punti di minima distanza:

$P=((-1/5),(3/5),(3/5))$

$Q=((3),(3/5),(-1))$ .

A questo punto l'esercizio è finito:
per avere la minima distanza basta calcolare la distanza $PQ$:

$PQ = (8 sqrt(5))/5$

per l'equazione della retta di minima distanza è sufficiente determinare
l'equazione della retta passante per $P$ e $Q$:

$PQ : ((x),(y),(z)) = ((3),(3/5),(-1)) + t ((2),(0),(-1))$ .
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Messaggioda franced » 12/08/2009, 03:53

Propongo un altro modo, meno "convenzionale":

una volta scritto il vettore differenza

$((t - 3),(2 t - h + 1),(2 t + 2))$

definiamo $f(t,h)$ come il quadrato della norma del vettore precedente:

$f(t,h) = (t - 3)^2 + (2 t - h + 1)^2 + (2 t + 2)^2$

ne calcoliamo il minimo, imponendo che il gradiente sia nullo:

${(18 t - 4 h + 6 = 0),(-4 t + 2 h - 2 = 0):}$

si trovano i valori visti in precedenza, ovvero:

$t = -1/5$ , $h = 3/5$ .
Francesco Daddi

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Messaggioda Needhana » 28/06/2010, 17:49

L'equzione parametrica di s non è

$s: {(x = 3),(y = -h),(z = -1):}$

??? Grazie per favore rispondete
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Messaggioda mistake89 » 28/06/2010, 17:59

Puoi anche considerare una costruzione geometrica della retta di minima distanza.

Considera il piano $pi$ contenente $r$ parallelo ad $s$. Prendiamo $alpha$ contenente $s$ perpendicolare a $pi$, e consideriamo $beta$ piano contenente $r$ perpendicolare a $pi$, la retta di minima distanza è $alpha nn beta$
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Messaggioda Needhana » 28/06/2010, 18:06

Non hai risposto alla mia domanda. Nel calcolare i numeri direttori della retta $s$ all'inizio si sono dimenticati un segno meno. Giusto? oppure sbaglio io a calcolarli?
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Messaggioda mistake89 » 28/06/2010, 18:31

Perchè dovrebbe esserci un segno $-$? A parte che essendo un parametro puoi scaricarlo sul parametro così non hai bisogno di portarti sempre quel "meno" dietro.
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Messaggioda Needhana » 28/06/2010, 19:49

ALLORA retta $s$

$s:{(x - 3 = 0),(x + z -2 = 0):}$

Matrice :

$((1,0,0),(1,0,1))$

Numeri Direttori $(l,m,n)$

$l= $$|(0,0),(0,1)|=0$
$m= -|(1,0),(1,1)|=-1$
$n= $$|(1,0),(1,0)|=0$

Punto della retta $s P(3,0,-1)$ e vettore della retta s $ \vec v(0,-1,0)$

Quindi :

$s:{(x = x_0 +Lt),(y = y_0+mt),(z = z_0+nt):}$

$s:{(x = 3),(y = -t),(z = -1):}$

Adesso per come dici tu il "meno" al parametro posso toglierlo per non portarmelo appresso? così è stato fatto?
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Messaggioda mistake89 » 28/06/2010, 19:51

I vettori direttori sono univocamente determinati a meno di una costante moltiplicativa non nulla, poni questa costante uguale a $-1$ e così il tuo vettore diventa $(0,1,0)$.
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