domanda facile sulla serie geometrica

[lisdap]

Sto studiando le serie e non ho capito da dove viene fuori l'uguaglianza:
$s_n=1+q+q^2+...+q^n=(1-q^(n+1))/(1-q)$
Mi sto riferendo alla serie geometrica. Grazie

[Gi8]

Intanto quella uguaglianza è vera se $q!=1$
Ciò posto, si può facilmente dimostrare per induzione che $(1-q)*(1+q+q^2+....+q^n)=1-q^(n+1)

[gugo82]

Ma anche senza induzione...

Hai:

\( \displaystyle S_n = 1+q+q^2+\ldots +q^n \)

\( \displaystyle qS_n=\quad q+q^2+\ldots +q^n+q^{n+1} \)

dalle quali, sottraendo m.a.m., segue:

\( \displaystyle (1-q)S_n=1-q^{n+1} \)

e da qui il passo è davvero breve...

[Gi8]

Giustissimo! Molto meglio seguire la strada indicata da gugo

[lisdap]

Ma anche senza induzione...

Hai:

\( \displaystyle S_n = 1+q+q^2+\ldots +q^n \)

\( \displaystyle qS_n=\quad q+q^2+\ldots +q^n+q^{n+1} \)

dalle quali, sottraendo m.a.m., segue:

\( \displaystyle (1-q)S_n=1-q^{n+1} \)

e da qui il passo è davvero breve...

Grazie Gugo, tutto chiaro

[lisdap]

Ma anche senza induzione...

Hai:

\( \displaystyle S_n = 1+q+q^2+\ldots +q^n \)

\( \displaystyle qS_n=\quad q+q^2+\ldots +q^n+q^{n+1} \)

dalle quali, sottraendo m.a.m., segue:

\( \displaystyle (1-q)S_n=1-q^{n+1} \)

e da qui il passo è davvero breve...

Grazie Gugo, tutto chiaro

Riprendo questo topic. Non ho capito perchè , se $q>=1$, le somme parziali divergono; o meglio, è evidente che divergono, ma solo se $q>1$, perchè se $q$ fosse anche uguale ad $1$ c'è il denominatore $1-q$ che si annullerebbe, o no?

[Paolo90]

L'uguaglianza $s_n=1+q+q^2+...+q^n=(1-q^(n+1))/(1-q)$ vale se e soltanto se $q!=1$, altrimenti l'espressione non ha significato.

D'altra parte, però, è evidente che, se $q=1$, la successione delle ridotte di $sum_(n=0)^oo q^n = 1+1+1+1+1+1+...$ diverge positivamente.
Insomma, il caso $q=1$ è un caso a sé stante, che si liquida con una semplice considerazione iniziale, per poi passare a studiare il caso $q!=1$.

Chiaro?

[lisdap]

L'uguaglianza $s_n=1+q+q^2+...+q^n=(1-q^(n+1))/(1-q)$ vale se e soltanto se $q!=1$, altrimenti l'espressione non ha significato.

D'altra parte, però, è evidente che, se $q=1$, la successione delle ridotte di $sum_(n=0)^oo q^n = 1+1+1+1+1+1+...$ diverge positivamente.
Insomma, il caso $q=1$ è un caso a sé stante, che si liquida con una semplice considerazione iniziale, per poi passare a studiare il caso $q!=1$.

Chiaro?

Okok, perfetto, grazie. Un'altra cosa: il criterio di Cauchy applicato alle serie afferma che una serie è convergente se e soltanto se due somme parziali consecutive, $S_n$ e $S_m$, sono "abbastanza" vicine tra loro, ossia minori di un epsilon arbitrario $>0$ per una scelta degli indici abbastanza elevati. Questo mi è chiaro. Non mi è chiara, invece, l'altra formulazione del criterio di Cauchy, dove, anzichè scrivere la disuguaglianza $|S_n-S_m|<e$, viene scritta la disuguaglianza $|a_p+a_(p+1)+...+a_(p+q)|<e$. Insomma, perchè
$|S_n-S_m|=|a_p+a_(p+1)+...+a_(p+q)|$? Grazie di nuovo.

[dissonance]

Su, che questa è facile. Non ci credo se dici che non ci potevi arrivare.

https://www.matematicamente.it/forum/pos ... tml#377717

[lisdap]

Su, che questa è facile. Non ci credo se dici che non ci potevi arrivare.

https://www.matematicamente.it/forum/pos ... tml#377717

Mah, io sono un tipo molto pratico, diciamo che le definizioni non sono il mio forte, però riflettendoci bene, significa forse che, se la serie è convergente, è possibile sommare termini di $a_k$ che risultano, per un'opportuna scelta degli indici, minori del margine $e$ fissato?
Insomma, è possibile sommare quantità così piccole che esse possono risultare minori di $e$