Biiezione di $\RR^2$ in sé: invertibilità globale

[Paolo90]

Classico esempio di problema che, scambiato per "banale", solleva allo studente una quantità notevole di dubbi e perplessità.

Esercizio. Mostrare che la mappa $f:\RR^2 \to \RR^2$ definita da
\( \displaystyle (x,y) \mapsto (5x+\sin{y}, 5y + \arctan{x}) \)

è una biiezione di $\RR^{2}$ in sé.

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Allora, per prima cosa mi calcolo lo jacobiano nel punto $(x,y)$: risulta, da semplici calcoli, $J(x,y):= ( ( 5 , cosy ),( (1)/(1+x^2) , 5 ) ) $ e dunque \( \displaystyle \det J(x,y)=25- \frac{\cos{y}}{1+x^{2}} \) . Non è difficile appurare a questo punto che la jacobiana è sempre invertibile. Infatti, la funzione $g: \RR^{2} \to \RR$ che manda $(x,y) \mapsto \frac{\cosy}{1+x^2}$ è limitata:

\( \displaystyle \frac{| \cos{y}|}{|1+x^2|} \le \frac{1}{1+x^2} \le 1 \)

Quindi, l'equazione \( \displaystyle \det J(x,y)=0 \) cioè \( \displaystyle 25- \frac{\cos{y}}{1+x^{2}}=0 \) non ha soluzioni. In definitiva, essendo lo jacobiano non nullo, per il ben noto teorema della funzione implicita, la $f$ è localmente invertibile in ogni punto di $\RR^{2}$.

Fin qui ci siamo?
Adesso ho ovviamente qualche problema: come passo all'invertibilità globale?

Non conosco nel dettaglio risultati di questo tipo, da quanto so io è abbastanza un casino (non è roba di analisi non lineare?). Al più ho trovato, sul Cecconi-Stampacchia, l'enunciato del teorema di invertibilità globale di De La Vallée-Poussin...

Ma devo proprio usare un cannone del genere? Secondo questo teorema, dovrei mostrare che la mappa è propria (controimmagine di compatti è compatta) e l'immagine è semplicemente connessa: magari provo anche a dimostrare queste due cose (non mi fa male), ma il dubbio rimane: c'è un modo elementare di risolvere il problema?

Beninteso, ho provato anche a passare dalla definizione (per l'iniettività, ma non ho concluso molto).
Mi date una mano, per piacere? Grazie

P.S. dimenticavo: per chi fosse interessato alla fonte, si veda qui.

[j18eos]

...l'enunciato del teorema di invertibilità globale di De La Vallée-Poussin...

...Secondo questo teorema, dovrei mostrare che la mappa è propria (controimmagine di compatti è compatta) e l'immagine è semplicemente connessa...

L'arte di complicarsi la vita è una dote innata; e ve lo dice uno che se ne intende! (Topolino)

I) Suriettività: le immagine delle rette per il punto \((0;0)\) mediante \(f\) che insieme descrivono?

II) Iniettività: definita \(\forall (x_1;x_2;y_1;y_2)\in\mathbb{R}^4,\,g(x_1;x_2;y_1;y_2)=(5(x_1-x_2)+\sin y_1-\sin y_2;5(y_1-y_2)+\arctan x_1-\arctan x_2)\), studia l'equazione \(g(x_1;x_2;y_1;y_2)=\underline 0_1^2\).

P.S.: A me sembra che la fonte stia a pag. 175 della dispensa che ho suggerito qui!

[Gaal Dornick]

M'è venuta in mente questa idea. Non funziona, però ve la dico, mi sembra interessante. E magari si può aggiustare.

La funzione considerata è (dividendo per $5$, che è invertibile )
$ x\in RR^n \mapsto (I+f)(x)$
con $I$ l'identità e $f(x,y):=(sin y,arctg x)$.

In altre parole, la funzione considerata è una correzione dell'identità. Si può provare qualche teorema del tipo "una correzione dell'identità con la proprietà X è invertibile"?
Mi viene in mente questa proposizione, che però funziona solo per operatori lineari (giusto? il punto è proprio riuscire a farlo per operatori non lineari, chessò, se sono limitati):
l'inversa di $I+A$ è $\sum_(i=0)^\infty (-1)^n A^n$ (se questa cosa converge, ossia, ad esempio, se $||A ||<1$.

Che dite?

[Giuly19]

Gaal potresti enunciarmi un po' meglio quella proposizione? Oppure rimandarmi a qualche link?
Grazie.

[Gaal Dornick]

Serie di Neumann:
http://it.wikipedia.org/wiki/Serie_di_Neumann

Qui si dice che il tutto funziona in uno spazio di Banach, perchè:
vuoi dare senso alla "cosa" $L=\sum_(n=0)^\infty T^n$. come fare? vedi se ha senso anzitutto $\sum_(n=0)^\infty T^n x$, con $x \in X$.
Nei Banach vale il teorema: una serie convergente normalmente (cioè converge la serie delle norme) è convergente (attenzione, vale nei Banach, è importante la completezza, e trovi questa cosa ad esempio sul Gilardi 2). Bisogna quindi far vedere che quella serie converge. Se imponi $|| T || <1$ è fatta.
Ok, quindi abbiamo definito l'operatore $L$. Bisogna far vedere che è effettivamente l'inverso, ossia che il prodotto dai due lati mi dà l'identità. Si prova facilmente. Ma si usa la linearità!
Il punto è, possiamo truccare la cosa in un qualche modo, per non usare la linearità?

[j18eos]

Se vogliamo considerare su \(C(\mathbb{R}^2;\mathbb{R}^2)\) la norma uniforme \(||\cdot||_{\infty}\), si ha che \(||(\sin y;\arctan x)||_{\infty}=\frac{\pi}{2}\) quindi la serie di Von Neumann non vabbene con tale metrica; si potrebbe cercare una norma ad hoc... eppoi?

[Paolo90]

@ tutti: buon Ferragosto!
Seriamente, grazie per le vostre risposte.

@ j18eos:

L'arte di complicarsi la vita è una dote innata; e ve lo dice uno che se ne intende! (Topolino)

Che bella Non me la ricordavo
Purtroppo, però, temo di non aver afferrato i tuoi suggerimenti.

I) Suriettività: le immagine delle rette per il punto \((0;0)\) mediante \(f\) che insieme descrivono?

L'immagine è costituita dall'insieme dei punti \( \displaystyle (5x+\sin ky, 5kx+\arctan{x}) \) . Mi stai forse dicendo che esso è l'intero $\RR^2$? Ne dubito assai... quindi non ho capito dove mi vuoi portare con il suggerimento. Ci penserò ancora, anche per quanto riguarda l'iniettività.

@ Gaal: che figo, Bellissima la tua idea, a me non sarebbe mai venuta.
Ho trovato un esercizio, che forse può fare al caso nostro. Praticamente, se $f: \RR^{n} \to \RR^{n}$ è una contrazione, allora $\phi: x \mapsto x + f(x) $, per ogni $x \in \RR^{n}$ è biettiva (con inversa continua!).

Non so se questo è adattabile al caso nostro; ora sono stanco, ci penserò su domani con calma. Tu che ne pensi?

Grazie ancora a tutti per l'interessamento.

[j18eos]

Sei sicuro di aver considerato tutte le rette per \((0;0)\)?

Per l'iniettività ho semplicemente posto \(g(x_1;x_2;y_1;y_2)=f(x_1;y_1)-f(x_2;y_2)\)!

[Paolo90]

Sei sicuro di aver considerato tutte le rette per \((0;0)\)?

E' vero, ho dimenticato i due assi
In particolare, l'immagine di $x=0$ è $[-1,1] \times \RR$, mentre l'immagine di $y=0$ è $\RR \times (-pi/2, pi/2)$, ma né loro né la loro unione sono tutto il piano...
E anche aggiungendo i punti che ho trovato prima non mi torna ancora... boh, sarà che oggi sono più fuso del solito

[j18eos]

In effetti la suriettività, per come ti ho suggerito, sembra più una intuizione che una certezza matematica per quanto riguarda l'iniettività non ho dubbi sul procedimento!

Euristicamente dimostrato che \(f\) è iniettiva, tenendo conto della sua locale invertibilità in ogni punto si avrebbe l'invertibilità globale (perché?).