Distanza tra il piano e la retta.

Messaggioda AntoD7 » 19/12/2011, 11:21

Ciao a tutti, stamattina ho incontrato un esercizio che mi ha bloccato.
L'esercizio dice:
calcolare la distanza tra la retta r di equazione r: $\{(x+8y-2z-4=0),(4y+z-2=0):}$ e il piano $π: 3x-2y+4z+1=0$
Questo esercizio lo avviammo insieme ad altri ragazzi, ma per motivi di tempo non lo finimmo.
Una voltra trovati i vettori direzionali, che sono per la retta (16,-1,4) e per il piano (3,-2,4), cosa devo fare?
Non ho idea, se poteste darmi una mano sui passaggi da fare (non mi interessa lo svolgimento) ve ne sarei grato!

Ciao a tutti e buona giornata ;-)
AntoD7
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Messaggioda speculor » 19/12/2011, 13:08

$\{(x+8y-2z-4=0),(4y+z-2=0):} rarr \{(x=-16t+8),(y=t),(z=-4t+2):}$

$[3x-2y+4z+1=0] rarr [-48t+24-2t-16t+8+1=0] rarr [t=1/2]$

Poichè il piano e la retta si intersecano nel punto $P(0,1/2,0)$, la loro distanza è banalmente nulla.
speculor
 

Re:

Messaggioda AntoD7 » 19/12/2011, 13:11

speculor ha scritto:$\{(x+8y-2z-4=0),(4y+z-2=0):} rarr \{(x=-16t+8),(y=t),(z=-4t+2):}$

$[3x-2y+4z+1=0] rarr [-48t+24-2t-16t+8+1=0] rarr [t=1/2]$

Poichè il piano e la retta si intersecano nel punto $P(0,1/2,0)$, la loro distanza è nulla.


Prima di tutto ti ringrazio per la risposta, ora ho capito perché nel risultato portava distanza 0.

E se invece non riesco a trovare t? Cioè se il piano e la retta non intersecano? Rimane la possibilità che possano essere sghembi o paralleli, giusto?
Come si deve impostare il problema in questo caso?
Grazie ancora per l'aiuto.
AntoD7
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Messaggioda speculor » 19/12/2011, 13:19

AntoD7 ha scritto:E se invece non riesco a trovare t? Cioè se il piano e la retta non intersecano? Rimane la possibilità che possano essere sghembi o paralleli, giusto?

Se la retta e il piano non si intersecano, significa che la retta è parallela al piano. Solo due rette possono essere sghembe, non una retta e un piano. In questo caso, puoi scegliere arbitrariamente un punto sulla retta e calcolarne la distanza dal piano con la seguente formula:

$d=|ax_0+by_0+cz_0+d|/sqrt(a^2+b^2+c^2)$
speculor
 

Re:

Messaggioda AntoD7 » 19/12/2011, 13:22

speculor ha scritto:
AntoD7 ha scritto:E se invece non riesco a trovare t? Cioè se il piano e la retta non intersecano? Rimane la possibilità che possano essere sghembi o paralleli, giusto?

Se la retta e il piano non si intersecano, significa che la retta è parallela al piano. Solo due rette possono essere sghembe, non una retta e un piano. In questo caso, puoi scegliere arbitrariamente un punto sulla retta e calcolarne la distanza dal piano con la seguente formula:

$d=|ax_0+by_0+cz_0+d|/sqrt(a^2+b^2+c^2)$


Mille grazie, ora ho capito. :smt023
AntoD7
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Re:

Messaggioda f_12 » 15/01/2013, 22:44

Se la retta e il piano non si intersecano, significa che la retta è parallela al piano. Solo due rette possono essere sghembe, non una retta e un piano.


Non so se è del tutto vero questo .. Su un sito ho trovato : ricordiamo che un piano ed una retta sono sghembi se non hanno punti in comune e non sono paralleli
f_12
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Re: Distanza tra il piano e la retta.

Messaggioda carlocchio » 16/01/2013, 16:25

Da quello che ho studiato io una retta e un piano non paralleli hanno sempre un punto di intersezione...
carlocchio
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Re: Distanza tra il piano e la retta.

Messaggioda f_12 » 16/01/2013, 20:39

diciamo che in esercizi del genere , il piano e la retta o sono paralleli o incidenti . Se fossero sghembi non avrebbe senso calcolare la distanza visto che questa varierebbe da punto a punto
f_12
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