Riordinamento serie

Messaggioda DavideGenova » 11/01/2012, 23:44

Ciao, amici!
Il mio testo di analisi propone l'esercizio, in parte risolto dal libro stesso, di riordinare (cosa che è la prima volta che mi trovo ad affrontare) la serie di termine generale $1/n$ in modo che converga a -1 e propone, utilizzando le serie pari $\sum_{k=1}^{oo} a_(2k)$ e dispari $\sum_{k=1}^{oo} a_(2k-1)$, fino al 5° indice:
$a_1+a_3+a_2+a_5=-1-1/3+1/2-1/5+...$
Ora, mi sembra che si possa generalizzare il riordinamento della serie come $a_1+a_(2k+1)+a_(2k)+...$ continuando con $k in NN$ (spreo di esprimermi correttamente) crescente di un'unità dopo ogni coppia $a_(2k+1)+a_(2k)$...
Sempre che sia corretta la mia comprensione dell'argomento, è possibile indicare una tale serie con un simbolo di sommatoria?
Grazie di cuore a tutti!!!
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Re: Riordinamento serie

Messaggioda albertobosia » 12/01/2012, 04:16

DavideGenova ha scritto:Ciao, amici!
Il mio testo di analisi propone l'esercizio, in parte risolto dal libro stesso, di riordinare (cosa che è la prima volta che mi trovo ad affrontare) la serie di termine generale $1/n$ in modo che converga a -1 e propone, utilizzando le serie pari $\sum_{k=1}^{oo} a_(2k)$ e dispari $\sum_{k=1}^{oo} a_(2k-1)$, fino al 5° indice:
$a_1+a_3+a_2+a_5=-1-1/3+1/2-1/5+...$

attenzione: qualsiasi permutazione della serie \(\displaystyle\sum_{k=1}^\infty\frac1k\) è divergente. l'autore utilizza infatti la serie armonica a segno alterno.


il teorema di riemann-dini ci garantisce che esiste una permutazione di \(\displaystyle\sum_{k=1}^\infty\frac{(-1)^k}k\) che tenda a \(-1\).


tuttavia riordinare la serie armonica a segno alterno per farla tendere a \(-1\) non è così facile.
questo perché sommando \(p\) termini positivi e \(q\) termini negativi, la serie tende a \(-\log2-\frac12\log\left(\frac pq\right)\).
sia \(\displaystyle x=\frac pq\).
\(-\log2-\frac12\log x=-1\) ha solo la soluzione \(\displaystyle x=\frac {e^2}4\), che è irrazionale.


quindi, non è possibile scrivere in modo "semplice" quella permutazione.
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formulazione equivalente: esiste un unico anello per incatenarli tutti.

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Re: Riordinamento serie

Messaggioda albertobosia » 12/01/2012, 11:47

mi viene in mente una cosa: non viene detto nell'enunciato del teorema che la serie può essere indeterminata.
però io con lo stesso ragionamento posso prendere due valori \(k_1\) e \(k_2\) (con \(k_1>k_2\)) e riordinare la serie sommando ogni volta fino quando (\(S\) è la somma parziale) \(S>k_1\), poi fino a quando \(S<k_2\), creando una successione di somme parziali oscillante che ovviamente non ha limite.
qualcuno può confermare che è corretto?
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Re: Riordinamento serie

Messaggioda ViciousGoblin » 12/01/2012, 13:29

Con un opportuno riordinamento puoi far fare quello che vuoi alle somme parziali (della riordinata) - puoi cioè far sì che la riodinata sia convergente a una somma prefissata arbitraria, che sia divergente (a più o a meno infinito) o che sia indeterminata.
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Re: Riordinamento serie

Messaggioda DavideGenova » 12/01/2012, 21:33

$\sum_{k=1}^{oo}"grazie"_k$ ragazzi!!!
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