Zeri isolati

[Paolo90]

Problema (concorso di ammissione SISSA). Sia $f: RR^2 \to RR$ una funzione $C^{\infty}$ con la seguente proprietà: se $(x,y) \in \RR^2$ è uno zero di $f$ allora

• il gradiente di $f$ in $(x,y)$ è singolare.
• l'hessiana di $f$ in $(x,y)$ è non singolare.

Mostrare che $f$ può avere solo zeri isolati.

Le mie idee sono in spoiler. Qualcuno ha voglia di dare un'occhiata, per cortesia? Grazie!

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Abbiamo di fronte una funzione con tutti zeri doppi, cioè zeri e contemporaneamente punti stazionari.

Per assurdo, supponiamo che l'insieme degli zeri di $f$ abbia punto di aderenza: esiste quindi una successione $(x_n,y_n)$ di zeri che converge a uno zero $(x,y)$.

Per le ipotesi su $f$, chiaramente, $\det H_{f} (x,y) \ne 0$, wlog supponiamo $\det H_{f} (x,y) > 0$. Poiché $f$ è $C^{infty}$ e il determinante è continuo, abbiamo (permanenza del segno)
\[
\det H_f(x_n,y_n) \ge 0
\]
per ogni \( n \gg 1\). La disuguaglianza in realtà è stretta, per via del fatto che $(x_n,y_n)$ sono zeri di $f$.
Ora qualcuno riesce a vedere un modo per concludere? Io purtroppo ho finito le idee...

[dissonance]

Hmm... No, prova a considerare restrizioni 1-dimensionali. Voglio dire, preso uno zero \(x_0\), considera \(\phi_{\gamma}(t)=f(\gamma(t))\), dove \(\gamma\) è una curva passante per \(x_0\) (precisamente \(\gamma(0)=x_0\)). Vuoi vedere che queste funzioni hanno qualche proprietà interessante sulla derivata seconda? E che quindi in un intorno di \(t=0\) esse possono annullarsi solo per \(t=0\)?

Prova, prova, poi facci sapere.

[totissimus]

Se \( (x_0,y_0)\) è uno zero di \(f(x,y)\) in base alle ipotesi \( (x_0,y_0)\) risulta essere un minimo o un massimo relativo stretto, quindi \(f(x,y)>f(x_0,y_0)=0\) o \(f(x,y)<f(x_0,y_0)=0\) in un intorno di \( (x_0,y_0)\) eccetto \( (x_0,y_0)\)(th. di analisi II); pertanto \( (x_0,y_0)\) è uno zero isolato.

Ma potrei sbagliarmi.

[Paolo90]

@ dissonance: grazie mille, come al solito per il tuo aiuto.

Dunque, se non ho sbagliato i conti, viene qualcosa del genere: risulta ovviamente
\[
\frac{d\phi}{dt}\mid_{t=0} = \langle \nabla f(\gamma(0)) , \gamma'(0) \rangle = 0.
\]

La derivata seconda, invece (?):
\[
\frac{d^2\phi}{dt^2}\mid_{t=0} = \langle \gamma'(0), H_f(x_0) \gamma'(0) \rangle + \langle \nabla f (\gamma(0)), \gamma''(0) \rangle = \langle \gamma'(0), H_f(x_0) \gamma'(0) \rangle.
\]
[EDIT: Questa deduzione è banalmente errata. Vedi messaggi successivi.] Ora, il fatto che il determinante di $H$ è non nullo mi garantisce che la matrice è definita, quindi $\phi$ è strettamente concava/convessa in un intorno di $t=0$. Adesso la conclusione è immediata per convessità?

@ totissimus: no, non mi dire! Mi sono scervellato per due ore ed era così semplice?!? Solo una domanda: perché possiamo affermare che il punto è di minimo/massimo stretto?

Grazie mille per il vostro aiuto.

[Rigel]

Scusate, forse è solo un problema di terminologia.
Se la matrice \(H\) è non singolare, questo non significa che sia definita (positiva o negativa); significa solo che ha tutti gli autovalori non nulli, ma potrebbero essere uno positivo e uno negativo.
E' chiaro che, nelle ipotesi date, se \(H\) è definita, lo zero è isolato (basta la formula di Taylor, come già osservato); il problema si ha quando la matrice è indefinita.

[Rigel]

Propongo questo approccio.
Supponiamo esista una successione di zeri \((x_k)\subset\mathbb{R}^2\setminus\{0\}\), \(x_k\to 0\).
A meno di una sottosuccessione possiamo assumere che \(\xi_k := \frac{x_k}{|x_k|} \to \xi\), con \(|\xi| = 1\).
Per ipotesi, abbiamo che
\[
0 = Df(x_k) = Df(0) + H x_k + o (|x_k|) = H x_k + o (|x_k|),
\]
con \(H = D^2f(0)\), da cui \(0 = H \xi_k + o(1)\).
Passando al limite ricaviamo che \(H\xi = 0\), contro l'ipotesi che \(H\) sia non singolare.

[Paolo90]

Ricapitolo un attimo, perché temo di essermi perso.

La soluzione di totissimus non è sbagliata, ma incompleta, perché assume come ipotesi aggiuntiva il fatto che l'hessiana sia definita.

Rigel, il tuo approccio rappresenta esattamente quello che volevo fare io, solo che - ancora una volta - non sono stato capace di concludere in maniera appropriata. Molto elegante: in sostanza, scrivi lo sviluppo di Taylor del differenziale e poi passando al limite concludi in un attimo.

Per quanto riguarda l'idea di dissonance e - soprattutto - i miei conti, che sono quelli che mi preoccupano di più , che ne pensate? Vi pare tutto corretto?
Grazie mille.

[dissonance]

@Rigel: Cioè tu stai sviluppando secondo Taylor il gradiente di \(f\), invece di \(f\)?

Comunque appoggio l'obiezione di Rigel. Secondo me "non singolare" non significa "definita di segno", altrimenti il problema sarebbe troppo facile.

[Paolo90]

Sì, per quello che ho capito io, Rigel ha sviluppato secondo Taylor proprio il gradiente di $f$.

Comunque, ho capito: in sostanza vale anche per me la stessa cosa di totissimus, non possiamo concludere nulla sul segno di $H$. Pensi che si possa salvare qualcosa del "nostro" ragionamento, dissonance?

[dissonance]

Per Paolo: I tuoi conti sono giusti, come previsto ti è saltata fuori la forma quadratica associata alla matrice Hessiana. Solo che, devo ammettere, mi sa che quella strada finisce qui. Io immaginavo di usare fatti di algebra lineare sulle forme quadratiche, ma non vedo niente di utile all'orizzonte.

Meglio battere la strada aperta da Rigel, manco a dirlo.