Admin-sp-17185
di Admin-sp-17185
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E' dato il fascio di rette di equazione

[math](k+2)x+(3-k)y+k+1=0[/math]

Determinare:

1)La natura del fascio

2) I valore del parametro della retta che intersecando gli assi forma un triangolo di superficie 1.

1)

Vediamo se il fascio è proprio, osservando il coefficiente angolare

[math]-a/b=-(k+2)/(3-k)=(k+2)/(k-3)[/math]
Il fascio è proprio in quanto al variare di k varia il coefficiente angolare.

Per trovare le rette generatrici svolgiamo le parentesi e raccogliamo k

[math]kx+2x+3y-ky+k+1=0[/math]

[math]2x+3y+1+k(x-y+1)=0[/math]

Quindi

[math]2x+3y+1=0[/math]
se
[math]k=0[/math]

[math]x-y+1=0->k=oo[/math]
(retta critica)

Intersecando le rette generatrici, otteniamo il centro del fascio.

Si può procedere anche ponendo

[math]k[/math]
i modo tale che il fascio "perda" un termine tra
[math]x[/math]
e
[math]y[/math]
, ad esempio avendo

[math](k+2)x+(3-k)y+k+1=0[/math]

poniamo

[math]k=3[/math]
ottenendo

[math](3+2)x++0+3+1=0[/math]
e questa retta è quella verticolare del fascio.

Ponendo poi

[math]k=-2[/math]
si ottiene quella orizzontale, e possiamo intersecare le due per trovare il centro.

2)

Chiamiamo A il punto di intersezione con l'asse x e B quello con l'asse y. O è l'origine.

Il triangolo

[math]stackrel(Delta)(AOB)[/math]
è rettangolo, pertanto l'area è espressa come semipordotto dei cateti, che sono
[math]\bar{AO}[/math]
e
[math]\bar{BO}[/math]

[math](AO \cdot BO)/2=1/2[/math]
(1)

Troviamo ora il modo di esprimere i due lati.

Intersecando il fascio con l'asse x, troviamo l'ascissa del punto A, che dipenderà  da k

[math]\begin{cases} (k+2) x + (3-k) y + k + 1 = 0 \ \end{cases}[/math]

ottenendo

[math]x=-(k+1)/(k+2)=AO[/math]

Facendo altrettanto con l'asse x, ottengo

[math]\begin{cases} (k+2)x+(3-k)y+k+1=0 \\ x=0 \ \end{cases}[/math]

[math]y=-(k+1)/(3-k)=BO[/math]

Quindi, ricordando l'equazione (1) avremo

[math](-(k+1)/(k+2)) \cdot (-(k+1)/(3-k))=2[/math]

semplice equazione che restituisce due valori

[math]k=\sqrt{11/3}[/math]
e
[math]k=-\sqrt{11/3}[/math]

FINE

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