Trovare le radici dell'equazione
[math]1/(\\cos^2x)-\\cos^2x-\\tan^2x=1/2[/math]
Anzitutto è necessario imporre le debite condizioni. In questo caso, occorre che il denominatore della frazione sia diverso da zero
[math]\\cos^2x!=0[/math]
[math]\\cosx!=0[/math]
[math]x!=\pi/2+k\pi[/math]
Ora possiamo procedere con l'equazione, e moltiplichiamo ambo i membri per
[math]\\cos^2x[/math]
[math]1-\\cos^4x-\\tan^2x \cdot \\cos^2x=(\\cos^2x)/2[/math]
[math]1-\\cos^4x-(\\sin^2x)/(\\cos^2x) \cdot \\cos^2x=(\\cos^2x)/2[/math]
[math]1-\\cos^4x-\\sin^2x=(\\cos^2x)/2[/math]
e ricordando che
[math]1-\\sin^2x=\\cos^2x[/math]
scriviamo
[math]\\cos^2x-\\cos^4x-(\\cos^2x)/2=0[/math]
[math]\\cos^4x-(\\cos^2x)/2=0[/math]
raccogliendo
[math]\\cos^2x[/math]
[math]\\cos^2x(\\cos^2x-1/2)=0[/math]
Il primo fattore
[math]\\cos^2x[/math]
potrebbe essere una radice, ma la condizione iniziale esclude ciò, pertanto solo la parentesi può annullarsi.
[math]\\cos^2x-1/2=0[/math]
[math]\\cosx=1/\sqrt2[/math]
[math]\\cosx=-1/\sqrt2[/math]
Queste due equazioni sono soddisfatte dall'insieme di soluzioni del tipo
[math]x=\pi/4+k\pi[/math]
con
[math]k[/math]
intero.
In realtà l'equazione poteva essere risolta più rapidamente osservando che
[math]1/(\\cos^2x)=1+\\tan^2x[/math]
identità che si può ricavare a partire da
[math]\\sin^2x+\\cos^2x=1[/math]
e dividendo tutto per [math]\\cos^2x[/math]
FINE
