Calcolare
[math]\lim_{x \to 0} \frac{(\\cos(x))^{\text{tg}(x)} - 1}{x^3}[/math]
Ricordando le proprietà dei logaritmi, e con un po' di passaggi algebrici, il limite si può scrivere in questa forma
[math]\lim_{x \to 0} \frac{e^{ln(\\cos(x))^{\text{tg}(x)}} - 1}{x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{e^{\text{tg}(x) ln(\\cos(x))} - 1}{\text{tg}(x) ln(\\cos(x))} \cdot \frac{\text{tg}(x) ln(\\cos(x))}{x^3} = [/math]
[math] = \lim_{x \to 0} \frac{e^{\text{tg}(x) ln(\\cos(x))} - 1}{\text{tg}(x) ln(\\cos(x))} \cdot \frac{\text{tg}(x)}{x} \cdot \frac{ln[1 + (\\cos(x) -1)]}{x^2} = [/math]
[math] = \lim_{x \to 0} \frac{e^{\text{tg}(x) ln(\\cos(x))} - 1}{\text{tg}(x) ln(\\cos(x))} \cdot \frac{\text{tg}(x)}{x} \cdot \frac{ln[1 + (\\cos(x) -1)]}{\\cos(x) - 1} \cdot \frac{\\cos(x) - 1}{x^2} \cdot \frac{\\cos(x) + 1}{\\cos(x) + 1} = [/math]
[math]= \lim_{x \to 0} \frac{e^{\text{tg}(x) ln(\\cos(x))} - 1}{\text{tg}(x) ln(\\cos(x))} \cdot \frac{\text{tg}(x)}{x} \cdot \frac{ln[1 + (\\cos(x) -1)]}{\\cos(x) - 1} \cdot \frac{\\cos^2(x) - 1}{x^2} \cdot \frac{1}{\\cos(x) + 1} = [/math]
[math]= \lim_{x \to 0} \frac{e^{\text{tg}(x) ln(\\cos(x))} - 1}{\text{tg}(x) ln(\\cos(x))} \cdot \frac{\text{tg}(x)}{x} \cdot \frac{ln[1 + (\\cos(x) -1)]}{\\cos(x) - 1} \cdot \frac{-\\sin^2(x)}{x^2} \cdot \frac{1}{\\cos(x) + 1} = [/math]
[math]= \lim_{x \to 0} \frac{e^{\text{tg}(x) ln(\\cos(x))} - 1}{\text{tg}(x) ln(\\cos(x))} \cdot \frac{\text{tg}(x)}{x} \cdot \frac{ln[1 + (\\cos(x) -1)]}{\\cos(x) - 1} \cdot (\frac{\\sin(x)}{x})^2 \cdot \frac{-1}{\\cos(x) + 1} = 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot (-\frac{1}{2}) = -\frac{1}{2}[/math]
dove all'ultimo passaggio sono stati usati i seguenti limiti notevoli
[math]\lim_{t \to 0} \frac{e^t - 1}{t} = 1[/math]
[math]\lim_{t \to 0} \frac{ln(1+t)}{t} = 1[/math]
[math]\lim_{t \to 0} \frac{\\sin(t)}{t} = 1[/math]
[math]\lim_{t \to 0} \frac{\text{tg}(t)}{t} =1[/math]
FINE
