| Una giornata di pioggia 1. In una giornata di pioggia un ragazzo fa ruotare un ombrello aperto con l'asta verticale. Dal bordo dell'ombrello ad una altezza h=2m dal suolo e a distanza r=0.7m dall'asta si staccano delle gocce d'acqua che cadendo tracciano sul suolo una circonferenza di raggio R=1.5m. Trascurando ogni attrito, calcolare il tempo in cui l'ombrello compie un giro.
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soluzione L'ombrello compie un giro in circa 2,12 secondi
La motivazione di Danilo Mascheroni La traiettoria della goccia (parabola) appartiene ad un piano verticale tangente al bordo dell'ombrello nel punto di distacco.
Proiettando il moto della goccia su di un asse verticale vale la relazione:
h = (1/2)*g*t^2
dove:
t = tempo di caduta al suolo
g = 9,80665 m/s^2 = accelerazione di gravità (val. standard)
Perciò la goccia cade a terra dopo un tempo pari a:
t = sqrt(2*h/g) (1)
Proiettando invece il moto lungo un asse orizzontale appartenente al piano della traiettoria vale la relazione del moto rettilineo uniforme:
v = d/t (2)
dove:
v = componente orizzontale della velocità della goccia
d = sqrt(R^2 - r^2) = distanza orizzontale percorsa nel tempo di caduta t
Dalla combinazione di (1) e (2) si ha:
v = sqrt(g*(R^2 - r^2)/(2*h)) = 2,077 m/s
Poiché v è costante, essa coincide con la velocità iniziale della goccia al momento del distacco, cioè coincide con la velocità periferica dell'ombrello, il quale percorrerà un giro completo in un tempo T pari a:
T = 2*pigreco*r/v = 2,117 secondi
La motivazione (file .pdf) di Vinciprova Francesco
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