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Mr. Smith vuole capire come funziona il duopolio di Cournot e decide di rivolgersi all'amico Hume (anche lui scozzese) che ha appena pubblicato, su matematicamente.it nella sezione problem solving avanzato, il Caso denominato "Mono Vs Oligo". Il Caso veramente completo perch tratta il monopolio, il duopolio, il tripolio e l'oligopolio. Smith si concentra sul dupolio e trova risposta a tutti i suoi dubbi e alle sue domande: massimizzazione dei profitti, curve di reazione, calcolo delle quantit da produrre q1 e q2 di equilibrio.
In particolare Hume, nel suo esempio, mostra che le quantit di equilibrio si calcolano risolvendo il sistema lineare di due equazioni nelle 2 incognite q1 e q2
q1 = (a - MC1 - kq2)/2k
q2 = (a - MC2 - kq1)/2k
Essendo:
k = 4
a = 170
MC1 = 58
MC2 = 61
Si trova facilmente: q1 = 9.6 q2 = 8.8
Cosa altro pu voler sapere Mr. Smith? Il fatto che ha letto un bel libro: "Sulle Orme del Caos" messo in rete dalla universit di Urbino dove si trova scritto ( ):
a) L'ipotesi di Cournot la seguente: Il produttore 1 assume che il produttore 2 produrr nel periodo attuale (n+1) quanto ha prodotto in quello precedente (n). Analogo ragionamento fa il produttore 2.
b) L'equilibrio di Cournot un punto fisso (alcuni lo hanno ribattezzato di Cournot-Nash) che indipendente dalle produzioni (q1 e q2), relative al periodo iniziale (n = 0), delle due aziende.
c) L'equilibrio di Cournot risulta essere asintoticamente stabile.
Smith peggio di San Tommaso, che non ci crede se non lo vede. Riuscir a costruire un semplice modello di simulazione dinamica discreta che gli consenta di verificare/vedere/comprendere i punti a, b, c elencati sopra?
Soluzione (Smith)
Per prima cosa (punto a) Smith riscrive le equazioni di Hume nella seguente forma ricorsiva (dove q1 e q2 si intendono calcolati al periodo n):
q1n+1 = (a - MC1 - kq2)/2k
q2n+1 = (a - MC2 - kq1)/2k
Dunque entrambe le aziende assumono, in mancanza di altre e pi precise informazioni, che la produzione del concorrente nel periodo n+1 sia uguale a quella del periodo precedente (n).
La produzione iniziale (q1 e q2 calcolata per n = 0, quadratino verde nel modello) viene generata casualmente (funzione Casuale() di Excel) entro ragionevoli limiti.
Si assunto: 0 < q1, q2 < 30.
Il ritratto di fase mostra che, indipendentemente dalle condizioni iniziali, il punto fisso risultante sempre: q1 = 9.6 e q2 = 8.8 (visivamente dove si addensano i quadratini neri).
L'andamento temporale delle variabili q1 e q2 mostra che, dopo circa 10 periodi, esse si stabilizzano. Forse a questo ci si riferiva scrivendo che l'equilibrio asintoticamente stabile.
Il foglio Mod. Simul. presenta il modello di simulazione discreta di Smith: premendo F9 si possono variare le condizioni/produzioni iniziali. Il punto fisso finale (in nero) sempre lo stesso.
