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La notte del 25 di agosto i sismografi del mondo intero registrano scosse di grado 8,5 della Scala Richter, con epicentro nell'Oceano Pacifico. La zona era già sotto osservazione da tempo per la intensa attività vulcanica sommersa.
Si teme che un'eruzione a scala imponente possa causare preoccupanti spostamenti di una placca continentale. Gli scienziati di diversi paesi, dopo consultazioni propongono l'invio di un mezzo subacqueo per accertamenti.
RESISTENZA AL MOTO E POTENZA RICHIESTA
Desideriamo calcolare la potenza necessaria a mantenere il moto.
Il sommergibile ha la forma di un sigaro (quindi a sezione circolare), opportunamente sagomato alle estremità per minimizzare la resistenza al moto. Sappiamo che un mezzo immerso in un fluido, in moto relativo, soggetto ad una forza resistente che si oppone al moto, che in generale è così definita:Mentre la potenza dissipata, per definizione, data dal prodotto della forza per la velocità
Dove:
Il file EXCEL allegato contiene tutti i dati necessari e riporta il calcolo di resistenza e potenza con le formule(1) e (2). Perché il moto avvenga a velocità costante la potenza dissipata così calcolata deve essere esattamente uguale a quella (meccanica) fornita dalle eliche (
Quindi la potenza nucleare necessaria per la propulsione è data da:
Naturalmente il sommergibile necessita anche di una notevole potenza elettrica per i numerosi servizi di bordo (pompaggio, compressione, riscaldamento, illuminazione, strumentazione,). Immaginiamo che ci voglia un ulteriore 30% rispetto a
Possiamo così calcolare la potenza complessiva richiesta (file EXCEL).
RIDUZIONE DELLA VELOCITÀ
Supponiamo ora che dopo una lunga navigazione subacquea il sommergibile arrivi in prossimità della zona da indagare. Il comandante si avvede che la velocità di crociera troppo alta e si rischia di andare oltre. L'errore commesso potrebbe essere dovuto ad imprecise indicazioni dei giroscopi. Si desidera ridurre la velocità di marcia da 27 a 10 nodi.
Si decide allora di fermare le eliche. In assenza di propulsione la resistenza fluidodinamica rallenterà il moto. Ci chiediamo per quanto tempo deve continuare la fermata e quanto spazio si percorre. Bene, ora il calcolo un po' pi complicato. Mentre nel caso precedente (formule 1 e 2) si aveva un moto a velocità costante, nel quale si bilanciavano tra loro la resistenza fluidodinamica e la reazione del fluido alla spinta delle eliche, nel calcolo attuale ci troviamo un mezzo in moto accelerato (accelerazione negativa) nel fluido. Abbiamo un sommergibile soggetto a una forza variabile che si oppone al moto: la resistenza del fluido. Dobbiamo quindi applicare il secondo principio della dinamica: forza = massa*accelerazione. In formule:Per risolvere poniamo:
In definitiva il tutto si riduce al calcolo di due integrali definiti:
Che integrata diventa:
Che risolviamo rispetto a
Si tratta chiaramente una funzione iperbolica. La velocità tende a
Se invece risolviamo la (4) rispetto a
Per calcolare quanto spazio richiede la frenata ci ricordiamo che lo spazio percorso dato, in generale, dal prodotto della velocità per il tempo impiegato a percorrerlo. Questo vale, chiaramente, anche se spazio e tempo sono infinitesimi:
E sostituendo la (5) al posto di v:
Ora non resta che integrare, separatamente, i due membri della (6):
Raggiunto l'obiettivo vengono fatti i necessari monitoraggi. Poi il sommergibile riparte per riportare a terra i dati da analizzare e interpretare.
FABBISOGNO DI ENERGIA PER L'INTERA MISSIONE
Vogliamo fare un bilancio energetico dell'intera missione.
Supponiamo che la durata totale della navigazione sia stata di 20 giorni, e che sia stata misurata, ad intervalli di tempo regolari, la potenza istantanea. In tal modo possibile tracciare la curva della potenza (in questo caso espressa in MW) in funzione del tempo (misurato in ore). Per definizione l'energia l'integrale della potenza nel tempo. Vale a dire che è l'area sotto la curva (tempo, potenza)Dal momento che nel nostro caso non possediamo una definizione analitica della potenza in funzione del tempo, dovremo effettuare l'integrazione con un metodo numerico. Ne esistono diversi: proviamo ad usare quello di Simpson:
Per usare la formula si suddivide l'intervallo di integrazione in intervalli (temporali) costanti di ampiezza (h).
Il file EXCEL riporta la tabella con i calcoli. Risultato: l'energia complessiva diCONSUMO DI COMBUSTIBILE NUCLEARE PER LA MISSIONE
Per valutare il consumo di combustibile ci serve qualche informazione in pi. Si detto che la produzione di energia avviene mediante fissione nucleare. Fissionare significa rompere. Che cosa? Una sostanza fissionabile, nel nostro caso Uranio 235, in simboli
RIEPILOGO
Abbiamo utilizzato la formula che determina la resistenza fluidodinamica al moto del sommergibile. Nel moto a velocità costante questa resistenza deve essere bilanciata da una forza eguale e contraria, la spinta del fluido sull'elica. Per il Terzo principio della Dinamica (Ad ogni azione corrisponde una reazione uguale e contraria) questa spinta deve essere, a sua volta, uguale e contraria alla spinta che l'elica esercita sul fluido. Abbiamo quindi calcolato la potenza come prodotto spinta * velocità.
Nel moto a eliche ferme abbiamo usato il Secondo principio della dinamica (massa*accelerazione = forza) per determinare l'andamento della velocità del sommergibile, con una semplice equazione differenziale, facilmente risolvibile. Una ulteriore integrazione della velocità nel tempo, ci ha permesso di calcolare lo spazio percorso a motore spento. Abbiamo poi calcolato l'energia totale utilizzata nella missione tramite il calcolo numerico dell'area sotto la curvaMISSIONE SOMMERSA
Autore: Hume
MOTO A VELOCITA' COSTANTE DEL SOMMERGIBILE NUCLEARE
Moto in immersione a velocità costante di crociera
Massa sommergibile m 25000 ton pari a: 25000000 kg
diametro scafo d 25 m
Coeff, di resistenza fluidodinamica dello scafo Cx 0,1 adim
velocità v0 27 nodi pari a: 50,0 km/h pari a: 13,9 m/s
viscosità cinematica acqua di mare 1,80E-06 m^2/s
ν
densità acqua di mare 1030 kg/m^3
ρ
Efficienza ciclo termodinamico 0,35 adim
ηt
Efficienza meccanica 0,9 adim
ηm
rapporto Potenza servizi/Potenza propulsione 0,3 adim
Calcoli potenza richiesta per il moto ed i servizi
Numero di Reynolds Re 1,93E+08 adim ---> moto pienamente turbolento
Sezione trasversale S 491 m^2
Forza resistente Fr 4,88E+06 N
Potenza alle eliche P = Pe 6,79E+07 W pari a: 68 MW pari a: 9,22E+04 HP
Efficienza globale 0,32 adim
η
Potenza nucleare per eliche PN 2,15E+08 W pari a: 215 MW pari a: 2,93E+05 HP
Potenza per servizi vari Ps 6,46E+07 W pari a: 65 MW pari a: 8,78E+04 HP
Potenza nucleare totale richiesta PN,tot 2,80E+08 W pari a: 280 MW pari a: 3,81E+05 HP
MOTO PER INERZIA A MOTORE SPENTO
velocità iniziale v0 27 nodi pari a: 50,0 km/h pari a: 13,9 m/s
velocità finale v1 10 nodi pari a: 18,5 km/h pari a: 5,1 m/s
costante k 0,001011200135
durata marcia inerziale t1 121 s
spazio percorso L 982 m
Diagramma tempo-velocità t(s) v(m/s) x(m)
0 13,9 0
20 10,8 245
40 8,9 441
60 7,5 605
80 6,5 745
100 5,8 868
121 5,1 982
140 4,7 1076
160 4,3 1165
180 3,9 1247
200 3,6 1323
220 3,4 1393
240 3,2 1459
260 3,0 1521
280 2,8 1579
300 2,7 1633
320 2,5 1685
340 2,4 1735
360 2,3 1782
380 2,2 1826
400 2,1 1869
420 2,0 1910
440 1,9 1950
460 1,9 1988
480 1,8 2024
500 1,7 2060
520 1,7 2094
540 1,6 2127
560 1,6 2158
580 1,5 2189
600 1,5 2219
620 1,4 2248
640 1,4 2276
660 1,4 2304
680 1,3 2331