Matematicamente

Il volume del solido, generato dalla rotazione dell\'asteroide intorno al\'asse x ( o all\'asse y), di raggio della circonferenza base =4r ( del Vs. grafico 4r=1,5), è uguale a 2pgreco per integrale da \"0 a 4r\"di ((4r)^(2/3)-x^(2/3))^3.dx. 
Sviluppando, abbiamo 2pgreco per integrale da \" 0 a 4r \" di ((4r)^2-3(4r)^(4/3).x^(2/3)+3(4r)^(2/3).x^(4/3-x^2)dx;la cui primitiva è uguale a 2pgreco(x(4r)^2-x^(5/3)(9:5)(4r)^(4/3)+(9:7)x^(7/3)(4r)^(2/3)-(1+3)x^3+c)da 0 a 4r .Sostituendo ,abbiamo 2pgreco(-(4:5)(4r)^3+(4r)^(11/3)-(1:4)(4r)^4)=volume del solido. 
Per r=1,  
V=61,27601671u^3 ; 
per r=0,375 ,  
V=4,30566876u^3.

E\'importante notare che i segmenti AB, di cui A dell\'asse x e B dell\'asse y, appartenenti alle rette tangenti alle curve dell\'asteroide del I ,del II, del III ,del IV quadrante, sono uguali, e se da un punto fisso (NODO),interno ad uno dei semiassi minori dell\'asteroide ,si tracciano le perpendicolari a tali segmenti , i relativi piedi formano una figura detta \"SCARABEO\",di equazione cartesiana rho=(a.cos2theta-b.costheta),a>b , \"podaria dell\'asteroide\".

L'equazione polare dell' 
evolvente dell'asteroide è quasi identica all'equazione polare dell'evoluta ;varia solamente il fattore che precede la radice quadrata che è 1/radice di 4r .Anche in questo caso l'equazione polare dell'evolvente di Corrado Brogi è errata.

L\'equazione polare dell\'evoluta dell\'asteroide è 
radice quadrata di 4r per radice quadrata di (4r)^(2/3):(sen(theta+pgreco/4)^(2/3)+cos(theta+pgreco/4)^(2/3)),il tutto elevato al cubo.  
Anche la relativa equazione polare di Corrado Brogi è errata.

Mi preme precisare che l'equazione polare dell'asteroide si riferisce al relativo grafico da Voi riportato ;di un asteroide generico è invece rho=(4r)elevato a due terzi, per radice quadrata di di 4r elevato a 2/3 : (sentheta)elevato a 2/3+(cosetheta)elevato a due terzi;il tutto 
della radice quadrata elevato al cubo . L'equazione cartesiana dell'asteroide è y=radice quadrata di 4r elevato a 2/3- x elevato a 2/3,il tutto elevato al cubo .Delle equazioni : r=raggio del cerchio rotante ; 4r=raggio della circonferenza base , essendo l'asteroide una ipocicloide.

L\'equazione polare dell\'asteroide è rho=radice quadrata di (4r)elevato a 2/3: 
((sen.theta)elevato a 2/3+(cos.theta)elevato a 2/3,il tutto elevato al cubo. La formula che riporta Corrado Brogi è errata.