Matematicamente

Mi preme precisare che le fun- 
zioni polari possono essere 
espresse anche con anomalie 
m.pgreco.THETA/n ; 
m.THETA/n.pgreco ; 
m.pgreco/n.THETA .

Premesso quanto riportato nel I commento,le anomalie devono essere espresse in "theta" e non in "u" e "v",cui si possono assegnare "theta" o frazioni di "theta", 
corrispondenti a diverse bottiglie di Klein.  
Una bella bottiglia di Klein si ha se alle relative funzioni polari corrispondono immagini o grafici simmetrici rispetto ai piani di riferimento,perpendicolari tra loro xz,yz,xy ,precisando 
che se ad una delle tre funzioni polari corrisponde un grafico simmetrico rispetto ad uno dei tre piani di riferimento, anche gli altri due grafici sono simmetrici rispetto agli altri due piani.Inoltre  
x(u,v),y(u,v),z(u,v), 
riportate nelle tre funzioni polari della bottiglia di Klein in figura ,sarebbe bene 
sostituirle con 
rho(xz),rho(yz),rho(xy). 
Pertanto le infinite funzioni polari delle bottiglie di 
Klein ,possono essere espresse 
come segue: 
 
rho(xz)= 
(r+cos(ntheta/m)sen(ptheta/q)- 
sen(ntheta/m)sen(2ptheta/q)) 
per cos(ntheta/m); 
 
rho(y,z)= 
(r+cos(ntheta/m)sen(ptheta/q)- 
sen(ntheta/m)sen(2ptheta/q)) 
per sen(ntheta/m); 
 
rho(xy)= 
sen(mtheta/2n)sen(ptheta/q)+ 
+cos(mtheta/2n)sen(2ptheta/q), 
 
per n,m ; p,q maggiori di O e minori di 10 unità.

Di un punto P della bottiglia 
di Klein ,inserita in un sistema trirettangolo di riferimento dello spazio x,y,z,di origine 0 ; u=z0P  
è l'anomalia rispetto all'asse 
z;v=xOP'è l'anomalia rispetto all'asse x ; rho=OP . Si può indicare u con "fi" e v con 
"theta".Ciò premesso,è evidente che le tre funzioni della bottiglia di Klein ,che può avere forme diverse,delle quali alcune a forma di 8 ,so- 
no "funzioni polari".Inoltre nella rappresentazione di figure spaziali,come quella della bottiglia di Klein,gli assi di riferimento x,y,z, devono essere suddivisi in "unità uguali", altrimenti si ha una figura che non corrisponde a quella reale .