Matematicamente

Il VOLUME del solido,genera- 
to dalla rotazione della catenaria intorno ad AB, è uguale a integrale da -2 a 2 di pgreco per 
(1/2(e^x+e^-x)-3,762196)^2dx 
la cui primitiva,elevando al quadrato e tenendo presente che la primitiva dell' 
integrale di e^x.dx=(e^x+c), 
=pgreco((1/4)(e^(2x)+e^(-2x)- 
+3,76219569(e^x+e^-x)+ 
+14,6541164x)da -2 a 2=pgreco 
per(-14,6541164-(-29,3082328) 
=pgreco(14,654116)= 
=55,548353u^3=V(sr). 
Il BARICENTRO della superficie,delimitata dalla catenaria,ha le coordinate= 
3,76219569-V(sr):2pgrecoA(s) 
=3,7621957-218794= 
=y(G)=2,5434017u ; x(G)=0 ,  
La SUPERFICIE del solido, generato dalla rotazione della catenaria intorno alla retta AB, 
=A(sr)=3pgreco.y(G)L(c)= 
=3pgreco(2,5434012)(7,225372) 
=173,87888u^2.

Errata corrige: 
y(A,B)=(1/2)(e^2+e^-2)=3,7621957,ordinata degli estremi A e B ,cui è appesa la catenaria (3,6268u,errato). 
La SUPERFICIE dell'area interna alla catenaria in figura è uguale a integrale da - 2 a +2 
di(1/2)(e^x+e^-x)-3,7621957)dx 
la cui primitiva è 
=(e^x)/2+(e^-2)/2-3,762196x+c)da -2 a +2=11,286587-3,762196= 
7,7950619u^2. 
La LUNGHEZZA della catenaria in figuara è uguale a  
L(c)=integrale da -2 a +2 ra- 
dice (1+(y')^2)dx= 
integrale da -2 a +2 di radice 
(1+((1/2)(e^x-e^-x))^2).dx ; 
con un calcolatore =7,253721u. 
Coordinate del centro del cerchio osculatore nel punto 
P(x(P)=1,4;y(P)=2,1508985. 
x(c)=x(P)-(y'/y\")(1+(y')^2)= 
1,4-1,9043015/2,1508985)per 
(1-(1,9043015)^2)=-2,695959u. 
y(c)=f(x(p)+1/y"(1+(y')2)= 
2,1508985+(1/2,1508985)per 
(1+(1,9043125)^2)=+4,3018985. 
RAGGIO del cerchio osculatore  
in P=(1+(y'(P)^2)^(3/2)/y"(P)  
=4,62643613u.

La "catenaria" è una catena inestensibile, appesa a due estremi A e B a livello orizzontale;AB=l=(lunghezza). 
E'evidente che la lunghezza L della catenaria è > l . 
L'equazione cartesiana della "catenaria" di modulo "a" ,ordinata del vertice della catenaria ,è 
y=acosh(x/a); 
cosh=cos.iperbolico . 
Essendo cosh(x/a)= 
=(1/2)(e^(x/a)+e^(-x/a)).  
Della catenaria in figura,di modulo a=1 ,l'equazione cartesiana è 
(1/2)coshx=(1/2)(e^x+e^-x). 
Per x=-,+2 ,y=(1/2)coshx; 
y=(1/2)(e^(2)+e^(-2))=3,6268, 
altezza della catenaria. 
Derivate della catenaria in figura.Essendo  
(d/dx)(1/2coshx)=(1/2)senhx; 
(d/dx)(1/2senhx)=(1/2)coshx; 
dell'equazione y=cosh(x), 
y'=senh(x)=(1/2)(e^x-e^-x)); 
y"=cosh(x)=(1/2)(e^x+e^-x)). 
In P(x=1,4 ; y=2,1508985); 
y'=(1/2)(e^1,4+e^-1,4)=1,904. 
equazione della tangente in P 
y=1,904(x-1,4)+2,1508985; 
y=1,9043.x-0,5151236. 
Derivata seconda in P, 
y"=(1/2)(e^x-e^-x); 
y"=(1/2)(e^1,4-e^-1,4)=2,1509 
Determinate le derivate prima e seconda in P ,è facile calcolare le relative coordinate del centro di curvatura ed il raggio del cerchio osculatore.