Matematicamente

BARICENTRO della superficie della CISSOIDE per a=2, 
= 2.integrale da 0 a xG della 
radice(x^3:(2-x)).dx= 
=(9,42477796/2)=4,71238898.  
La primitiva della funzione integranda è impossibile determinarla. 
Con un calcolatore portatile, 
non di facile uso,  
xG=1.8080948366 ; yG=0. 
Delle parti positiva e negativa della CISSOIDE,le  
ordinate dei baricentri sono  
+,-radice((1,808948366)^3/(2-1,808948366))=+,-5,56626499.

Il volume del solido,generato dalla rotazione della CISSOIDE intorno all'asse x,per a=2, è uguale a 
pgreco.integrale da 0 a 1,9... 
di radice(x^3/(x-2))^2,la cui 
primitiva ,dopo un complesso di operazioni,è uguale a 
(-pgreco(1/4)x^4ln(2-x)+c)da 
0 a 1,999....= 
-pgreco(1/4)16ln(2-1,999..)=  
=260,72326584u^3. 
(d/dx)ln(2-x)=-1/(x-2).

Errata corrige. 
La primitiva dell'integrale della CISSOIDE,di equazione  
y=+,-radice(x^3/(x-2)), 
non di facile determinazione, 
è uguale a  
(3ax.arctag(x:2)+c)da 0 a 2; 
per x=2,arctag(x:2)=arctag 1. 
La superficie,per a =2,uguale  
a 9,424777961u^2,è pertanto 
precisa e corrisponde a tre volte la superficie di un cerchio di raggio 1=  
3.pgreco=9,42477796u^2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
è uguale a 
(3axarctag(x/2)+c)da 0 a 2

Errata corrige:  
Della cissoide  
y=radice(x^3/(a-x)),  
y'=x(3-x)/ 
(2a-x)^2.radice(x/(2a-x)); 
invece di radice((2a-x)/x). 
L'equazione della tangente in P,per a=1,è corretta.

Della cissoide, per a=2, 
la superficie è uguale a 
2integrale da 0 a 2 di  
radice(x^3:(2-x))dx=,dopo 
un complesso di operazioni,  
=(3x(2)(arctag.1)+c)da 0 a 2= 
12(0,78539816)=3pgreco= 
9,424777961u^2.

Premesso che la "podaria" di una funzione è il luogo geometrico dei piedi delle perpendicolari condotte da un punto qualunque alle tangenti della funzione,mi preme precisare che,nel caso in esame, la "podaria cissoide" della parabola è il relativo "luogo geometrico" dei piedi delle perpendicolari condotte dal vertice della parabola alle relative tangenti.

Premesso che la derivata di una funzione"radicando fratto" 
è uguale al rapporto tra la derivata del radicando fratto 
diviso il doppio della funzione,la derivata prima della funzione della "cissoide", è  
y'=(x(3-x):(2a-x)^2)per radice 
quadrata di((2a-x):x). 
Della funzione  
y=radice(x^3:(2-x)),per a=1,la derivata nel punto  
P(x=1,3 ; y=1,7716),è 
y'=3,3095845. 
L'equazione della tangente in P,y=3,3095845(x-1,3)+1,7716= 
3,309584x-2,508585.

La "cissoide" è formata di due curve uguali,simmetriche rispetto agli assi cartesiani,il cui campo di  
esistenza è (0 ; +,-a(. 
L'equazione cartesiana di una cissoide è a.y^2-x.y^2=x^3, 
da cui  
y=+,-radice(x^3:(a-x)). 
L'equazione polare di una "cissoide= è 
rho=a(sen.tetha)^2:cos.theta, 
che si dimostra ,sostituendo alla x e alla y dell'equazione cartesiana  
x=rho(cos.theta), 
y=rho(sen.tetha). 
In figura non è riportata una cissoide , ma due curve , le cui equazioni sono  
y=+radice(x^3:(0,53125-x); 
y=-radice(x^3:(2-x)). 
Inoltre una "cissoide" non interseca l'asse x o l'asse y, 
come in figura. 
La "cissoide" è la "podaria" di una parabola ; dell'equazione della parabola 
y=(1/4)x^2 , 
l'equazione della relativa podaria è  
x=-radice(y^3:(2-y)); 
a=2,ordinata del fuoco della parabola.