Matematicamente

Errata corrige : (1:8)di arcsen1=0,1963495401 e non 196495401!

Il volume del solido ( due gocce d'acqua),generato dalla rotazione della " curva a manubrio" intorno all'asse x ,è =  
2pgreco per integrale da ( 0 a 1) di ( x^4-x^6).dx ; la cui primitiva è = 2pgreco(x^5:5-x^7:7+c)da(0 a 1)= 2pgreco(1/5-1/7)= 0,3590391604u^3=V. 
L'ordinata del baricentro della parte della curva a manubrio del I quadrante,è=(V:2)/2pgreco per (1/4) della superficie totale = 
0,1795195802:(2pgreco per 0,1963495401)=0,1455130914;ciò premesso la superficie del solido di rotazione o delle "due gocce d'acqua" è =2pgreco (0,1455130914)per(perimetro della curva) =2pgreco(0,1455130914)per(5,539213929=5,064424184u^2.

La primitiva dell\'equazione della CURVA A MANUBRIO è((x^2+1/2)per radice quadrata  
di((2x+4x^2))+(1/8)arcsen(2x-1),da 0 a 1.  
DIMOSTRAZIONE  
Integrale della radice quadrata di (x^4(1-x^2))dx=integrale di x^2 per radice quadrata di (1-x^2)dx. 
Ammesso x^2=t,differenziando, 
2x.dx=dt,dx=dt/2x=dt/2radice di t.Sostituendo,abbiamo 1/2 dell\'integrale((1-t^2):t)dt=  
(t+1/2)per radice quadrata di 
((t+t^2))+(1/8)arcsen(2t-1)); essedo t=2x ,abbiamo (x^2+1/2) 
per radice quadrata di 
((2x-4x^2))+(1/8)arcsen(2x-1)+c)(da 0 a 1)=1/4 della superficie della curva a manubrio.Per 1 e 0,abbiamo =(1/8)arcsen1=1963495401u^2= 
1/4 della superficie della curva a manubrio.Pertanto (1/2)arcsen1=0,78539816u^2= 
area superficie della curva a manubrio.  
E\'evidente che la derivata della primitiva è uguale all\'equazione della curva a manubrio.

La derivata prima dell'equazione della "CURVA a MANUBRIO" è y'=(2x-3x^3):radice quadrata di (1-x^2); mentre la derivata seconda y"=(6x^4-9x^2+2):(1-x^2)radice quadrata di(1-x^2). 
Determimite le derivate prima e seconda in un punto della "curva a manubrio " è facile determinare le coordinate del centro del raggio di curvatura nel punto ed la lunghezza del raggio.

La lunghezza della circonferenza della curva a manubrio è data da 4 per integrale da 0 a 1 della radice quadrata ( 1 +(2x-3x^3)^2:(1-x^2))dx=4per(1,38480348=5,53921392unità. 
(2x-3x^3)^2:(1-x^2) è la derita prima della curva a manubrio elevata al quadrato.

Lequazione polare della curva a manubrio , non di facile determinazione , è 
rho=più o meno radice quadrata di((costheta meno redice quadrata di( 5 costheta al quadrato meno 4 ),diviso 2costheta al cubo)) .