Matematicamente

E' sempre interessante vedere quanto vicino arrivata l'approssimazione ai coefficienti che abbiamo usato per costruire i dati. I coefficienti variavano tra 2 e 6 e noi abbiamo ottenuto per l'approssimazione. nei nostri dati era sempre e per l'approssimazione abbiamo ottenuto . Naturalmente abbiamo aggiunto rumore ai dati, cos che non ci aspettiamo che questi coefficienti dell'approssimazione coincidano esattamente con i coefficienti usati per ottenere i nostri dati. 

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Ecco la rappresentazione dei dati e la curva che rappresenta la funzione approssimante .

                 Per vedere l'animazione possiamo cliccare sul grafico seguente

La funzione approssimante con e . Il coefficiente di correlazione per questa approssimazione .

Questo completa la nostra occhiata dentro la scatola nera. Ovviamente ci sarebbe ancora molto da dire, ma siamo pronti per vedere alcuni risultati.

E ora tocca alle equazioni per il calcolo dell'approssimazione. Prima occupiamoci dei valori di prova per i due coefficienti prendendo i logaritmi dei loro valori . Se la vostra calcolatrice pu dare l'approssimazione esponenziale, probabilmente usa questo trucco. Funziona, perch se allora cosicch il logaritmo di una funzione lineare di . Useremo coefficiente angolare e ordinata all'origine della retta che meglio approssima il grafico logaritmico per costruire valori di prova per gli originali parametri esponenziali. L'operatore freccia sopra ci dice che prenderemo i logaritmi di tutti valori dei dati in una volta.

Per essere sicuri che il nostro grafico mostri tutti i dati useremo il max e il min di e per fissare la scala del grafico. Prima troviamo gli intervalli di e e quindi estendiamo un po' ciascun intervallo. Per rappresentare la funzione approssimante useremo una variabile diversa, .

Prima costruiremo alcuni dati che hanno pressappoco un andamento esponenziale. Sceglieremo alcuni valori per e li sposteremo un po' a destra e a sinistra. Quindi li passeremo attraverso una funzione esponenziale e li moltiplicheremo per un fattore casuale compreso tra 2 e 6. Ci aggiunge rumore ai nostri dati e la procedura di approssimazione avr un po' di lavoro da fare.

Potete considerare il vostro foglio di lavoro come una scatola nera , come gli ingegneri chiamano un dispositivo di cui si preoccupano unicamente degli input e degli output e non del suo funzionamento. Tutto ci che dovete fare digitare i vostri dati in due vettori chiamati e e andare alla fine del foglio di lavoro per vedere i coefficienti e e costruire un grafico con i dati e la curva approssimante.

Se avete coppie di dati , la regressione esponenziale avvicina i valori con un'espressione della forma . Mathcad pu rapidamente trovare i migliori valori per le costanti e . Esso usa una funzione sofisticata genfit , che rende la somma dei quadrati degli errori nella vostra approssimazione pi piccola possibile.