Matematicamente

I processi AUTOREGRESSIVI

Sia {Z_t, t $\in$ T}, sia ε_t un processo white noise WN(0, σ²), allora:

Z_t=Φ_tZ_t-1+ε_t

rappresenta un processo autoregressivo del primo ordine AR(1);

Z_t=Φ₁Z_t-1+Φ₂Z_t-2+ε_t

rappresenta un processo autoregressivo del secondo ordine AR(2);

Z_t=Φ₁Z_t-1+Φ₂Z_t-2+...+Φ_pZ_t-p+ε_t

rappresenta un processo autoregressivo del generico ordine p AR(p), dove Φ₁,Φ₂,...,Φ_p  sono i parametri del modello AR da stimare. Tali processi sono stazionari solo se i parametri soddisfano determinate condizioni, ovvero sono in modulo maggiori di 1. Di solito si suppone che la variabile di white noise sia di tipo gaussiano al fine di stimare i parametri in base al metodo della massima verosimiglianza.

I processi MOVING AVERAGE

Sia {Z_t, t $\in$ T}, sia a_t un processo white noise WN(0, σ²), allora:

Z_t=a_t-θa_t-1

rappresenta un processo a media mobile del primo ordine MA(1);

Z_t=a_t-θ₁a_t-1-θ₂a_t-2

rappresenta un processo a media mobile del secondo ordine MA(2);

Z_t=a_t-θ₁a_t-1-θ₂a_t-2-...-θ_qa_t-q

rappresenta un processo a media mobile del generico ordine q, dove θ₁, θ₂,...,θq sono i parametri del modello MA da stimare. Tali processi sono sempre stazionari. Di solito si suppone che la variabile di white noise sia di tipo gaussiano al fine di stimare i parametri in base al metodo della massima verosimiglianza.

I processi ARMA

Un processo ARMA è dato dalla combinazione tra un processo AR(p) e un processo MA(q): 

Z_t=Φ₁Z_t-1+Φ₂Z_t-2+...+Φ_pZ_t-p+a_t-θ₁a_t-1-θ₂a_t-2-...-θ_qa_t-q,

Z ~ ARMA(p, q)  è un processo autoregressivo media mobile di ordine (p,q), dove Φ₁, Φ₂,...,Φ_p e θ₁, θ₂,...,θ_q sono i parametri del processo ARMA da stimare. Il processi ARMA sono stazionari solo se si verificano alcune condizioni.

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