Cos'è e quali sono le principali formule del triangolo
Il triangolo è una figura delimitata da tre segmenti che congiungono tre punti non allineati e che soddisfano la seguente proprietà: ognuno di essi è minore della somma degli altri due ed è maggiore della loro differenza. I segmenti sono chiamati lati del triangolo, i punti sono i vertici del triangolo.Consideriamo un generico triangolo
[math]ABC[/math]
. Per risolvere gli esercizi è fondamentale saper calcolare due grandezze:- il perimetro, ossia la lunghezza del contorno della figura . In generale, esso si ottiene sommando la lunghezza dei tre lati ma nei prossimi paragrafi vedremo come tale formula si semplifichi in presenza di determinate condizioni (triangoli equilateri ed isosceli).
- l'area, cioè l'estensione della parte di piano racchiusa all'interno del perimetro. L'area si calcola facendo il semiprodotto tra la base e l'altezza del triangolo. L'altezza del triangolo non è altro che la distanza - cioè un segmento perpendicolare - tra un vertice e una base.
Un altro concetto importante da sapere al fine di risolvere correttamente gli esercizi è la presenza dei punti notevoli, ossia dei punti aventi un determinato ruolo. I più importanti sono:
- l'ortocentro, ossia il punto di intersezione di tutte le altezze di un triangolo. In un triangolo generico possono essere definite tre altezze, cioè una per ogni base possibile
- il baricentro, cioè il punto di incontro delle sue mediane. Si definisce mediana un segmento che unisce i due punti medi di lati collocati in maniera opposta. Il punto medio è il punto che divide perfettamente a metà un lato
- l'incentro, ossia il punto di incontro delle bisettrici del triangolo. Ci sono tre bisettrici, una per ogni angolo
- il circocentro, cioè il punto di incontro degli assi del triangolo, ossia rette perpendicolari ai lati passanti per il loro punto medio.
Come si classificano i triangoli in sottocategorie
La classificazione dei triangoli in sottocategorie può essere fatta considerando gli angoli:- il triangolo acutangolo ha tutti gli angoli minori di [math]90°[/math]
- il triangolo ottusangolo che ha un angolo maggiore di [math]90°[/math]
- il triangolo rettangolo che ha un angolo uguale a [math]90°[/math]
- il triangolo equilatero, che è anche equiangolo, è un particolare triangolo acutangolo
Considerando invece le proprietà relative ai lati, i triangoli possono essere raggruppati in:
- triangoli equilateri, ossia quelli aventi tutti i lati e tutti gli angoli congruenti
- triangoli scaleni, cioè quelli aventi tutti i lati e gli angoli di diversa lunghezza
- triangoli isosceli, ossia i triangoli che dispongono di due lati congruenti e la coppia di angoli alla base congruenti
Le principali proprietà di ogni sottocategoria di triangoli
Alcune proprietà dei triangoli valgono per tutte le tipologie, come ad esempio la somma degli angoli interni la quale è sempre pari a un angolo piatto. Altre proprietà, invece, sono valide soltanto in presenza di determinate sottoclassi di triangoli: ecco qualche esempio.
I triangoli rettangoli
I triangoli rettangoli presentano tre angoli e tre lati. Il lato più lungo, posizionato di fronte all'angolo retto, prende il nome di ipotenusa. Gli altri due lati, invece, si chiamano cateto maggiore e cateto minore. Esistono alcuni triangoli rettangoli che presentano particolarità, cioè:- il triangolo 90-45: esso presenta un angolo retto e due angoli da [math]45°[/math]ed è isoscele. In questo caso la mediana legata all'ipotenusa è lunga la metà di quest'ultima e la bisettrice dell'angolo retto è altezza e mediana della base
- il triangolo 90-30-60 presenta un angolo retto, un angolo di 60° e un angolo di 30°. In questo tipo di triangolo, la base è lunga la metà dell'ipotenusa
I triangoli acutangoli/ottusangoli
Nei triangoli acutangoli, cioè quelli che presentano angoli acuti ossia di ampiezza inferiore all'angolo retto, i punti notevoli incentro, baricentro e circocentro risultano interni, cioè si posizionano nella parte di piano racchiusa nel perimetro.Nei triangoli ottusangoli, invece, sono i triangoli che presentano un angolo avente ampiezza maggiore dell'angolo retto. In tal caso, i punti notevoli ortocentro e circocentro si trovano al di fuori del perimetro della figura, a differenza del baricentro e dell'incentro che risultano interni.
Le proprietà dei triangoli isosceli ed equilateri
I triangoli isosceli sono triangoli che presentano due lati congruenti: i triangoli equilateri possono essere considerati uno speciale sottogruppo dei primi.Una delle proprietà più importante dei triangoli isosceli (e quindi anche dei triangoli equilateri) è che la bisettrice dell'angolo al vertice è anche altezza, base e mediana. Per questo motivo ortocentro, incentro, circocentro e baricentro sono gli stessi (i punti sono sovrapposti).
