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La formula risolutiva per l'equazione di terzo grado

La storia del rinvenimento della formula risolutiva dell'equazione di terzo grado si sviluppa nella prima metà del 1500. Come tutte le storie, soprattutto quelle in cui sono coinvolte più persone, è piuttosto intricata e difficile da ricostruire. I personaggi sono tutti italiani: Scipione dal Ferro, il suo allievo Antonio Maria Fior, Niccolò Fontana, detto Tartaglia, e Gerolamo Cardano.
La difficoltà storica di attribuire la paternità di una formula è legata alle motivazioni socio-economiche che spingono questi matematici verso la ricerca scientifica.

Da un lato c'è l'urgenza di scoprire le leggi della balistica, dall'altro la bravura di un matematico si misura con sfide pubbliche, delle vere e proprie gare di matematica. In entrambi i casi, la scoperta di una formula che permettesse di risolvere i problemi allora in voga era un segreto da custodire gelosamente.
Il 22 febbraio 1535 si tiene una sfida tra Tartaglia e Fior: ciascuno propone all'altro trenta problemi da risolvere nel più breve tempo possibile. Tartaglia risolve rapidamente i problemi di Fior, mentre quest'ultimo non riesce a risolverne nessuno.

Tutti i problemi si risolvevano per mezzo di equazioni di terzo grado; quelli proposti da Fior potevano essere ricondotti tutti all'unico tipo che conosceva di equazione di terzo grado, la cui formula risolutiva gli era stata rivelata dal suo maestro Scipione dal Ferro. La schiacciante vittoria di Tartaglia dimostrava che questi aveva trovato un metodo per risolvere tutte le equazioni di terzo grado.
La notizia giunge a Cardano, medico, scienziato e astrologo dalla fama internazionale. Cardano cerca di convincere Tartaglia a rivelargli la formula, lo lusinga, lo minaccia, gli fa promesse. Dopo numerose insistenze Tartaglia cede richiedendo che la formula restasse segreta.
Occorre precisare che proprio in questo periodo comincia a svilupparsi il simbolismo matematico del calcolo letterale. I matematici arabi, da cui gli italiani avevano appreso il calcolo algebrico e i metodi per risolvere le equazioni, usavano un linguaggio geometrico, in parte in uso ancora oggi: il cubo, il quadrato, il lato. Per esempio l'equazione x³ +6x=20 veniva scritta "il cubo e sei volte il lato è uguale a venti".

Tartaglia invia a Cardano i seguenti versi

Quando che 'l cubo con le cose appresso

[math]x^3 +px[/math]

Se agguaglia a qualche numero discreto:

[math]= q[/math]

Trovami dui altri, differenti in esso;

[math]u-v = q[/math]

Dapoi terrai, questo per consueto,
Che 'l loro produtto, sempre sia eguale

[math]u \cdot v =[/math]

Al terzo cubo delle cose netto;

[math](p/3)^3[/math]

El residuo poi suo generale,
Delli lor lati cubi, ben sottratti

[math]
oot{3}{u} -
oot{3}{v}[/math]

Varrà la tua cosa principale.

[math]= x[/math]

In el secondo, de cotesti atti;
Quando che 'l cubo, restasse lui solo,
Tu osserverai quest'altri contratti,
Del numer farai due tal part' a volo,
Che l' una, in l' altra, si produca schietto,
El terzo cubo delle cose in stolo;
Delle quali poi, per commun precetto,
Terrai li lati cubi, insieme gionti,
El cotal somma, sarà il tuo concetto;
El terzo, poi de questi nostri conti,
Se solve col secondo, se ben guardi
Che per natura son quasi congionti,
Questi trovai, et non con passi tardi
Nel mille cinquecent' e quattro e trenta;
Con fondamenti ben saldi, e gagliardi;
Nella Città del mar 'intorno centa.

Nel 1545, contravvenendo alla promessa verso Tartaglia, Cardano pubblica nell'Ars magna la formula risolutiva delle equazioni di terzo grado. Invece di trattare la formula generale con il complesso linguaggio che ne sarebbe derivato, Cardano affronta un caso particolare, un esempio diremmo oggi, sottintendendo che il metodo si può applicare a qualsiasi caso.

Partiamo dall'equazione

[math]x^3+6x=20[/math]

applicando il procedimento di Tartaglia si ha

1)
[math]u-v=20[/math]

2)
[math]uv = frac{216}{27}=8[/math]

sostituendo la 1) nella 2) si ottiene

3)
[math](20+v)cdot v = 8[/math]
da cui
[math]v^2+20v-8=0[/math]

applicando la formula risolutiva delle equazioni di secondo grado si ha

[math]v_{1,2} = -10 \pm \sqrt{108}[/math]

, la radice positiva è

[math]v=\sqrt{108}-10[/math]

, conseguentemente

[math]u=\sqrt{108}+10[/math]

Infine

[math]x=
oot{3}{\sqrt{108}+10}-
oot{3}{\sqrt{108}-10}[/math]

In generale

L'equazione

[math]x^3+px=q[/math]

si risolve con la formula

[math]x=
oot{3}{\sqrt{{frac{p}{3}}^3+(frac{q}{2})^2}+frac{q}{2}}-
oot{3}{\sqrt{{frac{p}{3}}^3+(frac{q}{2})^2}-frac{q}{2}}[/math]

Vediamo, ora, come è possibile risolvere una generica equazione cubica.

Se si presenta nella forma

[math]ax^3+bx^2+cx+d=0[/math]

possiamo dividere i due membri dell'equazione e riportarci al caso

[math]x^3+c_1 x^2+c_2 x+c_3 = 0[/math]

Da questa equazione si può far scomparire il termine di secondo grado, applicando la sostituzione

[math]x=y-frac{1}{3}c_1[/math]

A calcoli fatti, si ottiene

[math]y^3+(c_2-frac{1}{3}c_1^2)y+frac{2}{27}c_1^3-frac{1}{3}c_1 c_2+c_3=0[/math]

ponendo

[math]p=(c_2-frac{1}{3}c_1^2); q=frac{2}{27}c_1^3-frac{1}{3}c_1 c_2+c_3[/math]

si ottiene

[math]y^3+pq+q=0[/math]

Qualche decennio dopo, Ludovico Ferrari perviene alla risoluzione, con radicali quadratici e cubici, dell'equazione generale di 4° grado, riducendola al 3° grado.
Si pensò che si potessero risolvere le equazioni algebriche di ogni ordine. Tuttavia, già l'equazione di 5° grado divenne un ostacolo insormontabile. Solo nel 1799 Paolo Ruffini e nel 1828 il norvegese Niels Abel, indipendentemente l'uno dall'altro, dimostrarono che per una equazione algebrica di grado superiore al 4° non è possibile esprimere le radici per mezzo di un numero finito di operazioni razionali e di estrazioni di radici.

Alcuni problemi posti da Fior
-Trovare un numero che, sommato alla sua radice cubica, dia come risultato sei.

-Un ebreo presta un capitale a condizione che alla fine dell'anno gli venga pagata come interesse la radice cubica del capitale. Alla fine dell'anno, l'ebreo riceve ottocento ducati, tra capitale e interessi. Qual era il capitale?

Alcuni problemi posti da Tartaglia
-Un vascello sul quale si trovano quindici turchi e quindici cristiani viene colpito da una tempesta e il capitano ordina di gettare fuori bordo la metà dei passeggeri. Per sceglierli si procederà come segue: tutti i passeggeri verranno disposti in cerchio e, cominciando a contare a partire da un certo punto, ogni nono passeggero verrà gettato in mare. In che modo si devono disporre i passeggeri perché solo i turchi siano designati dalla sorte per essere gettati a mare?

-Suddividere un segmento di lunghezza data in tre segmenti con i quali sia possibile costruire un triangolo rettangolo.

-Una botte è piena di vino puro. Ogni giorno se ne attingono due secchi, che vengono sostituiti con due secchi d'acqua. In capo a sei giorni, la botte è piena per metà d'acqua e per metà di vino. Qual era la sua capacità?

Bibliografia essenziale
C. B. Boyer, Storia della matematica, Mondadori, Milano, 1980, pp. 328-331.
G. Loria, Storia delle matematiche, Hoepli, Milano, 1950, pp. 302-303.
M. Klein, Mathematical thought from ancient to modern times, Oxford University Press, New York, 1972, pp. 263-270.
Su Internet

http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Cardan.html http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Tartaglia.html

http://www.unife.it/tesi/A.Montanari/algebra.htm

http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Ferro.html

http://www.lib.virginia.edu/science/parshall/algebra.html#CARD

http://www.mbservice.it/scuola/tartaglia/le_equazioni_di_terzo_grado.htm

http://www.dmf.bs.unicatt.it/~paolini/divulgazione/matopin/NGB/articolo.html

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