STUDIO DI FUNZIONE

Una funzione è una relazione che ad ogni elemento x di un insieme A associa uno ed un solo elemento y di un insieme B; inoltre, poiché quelle che ci interessano più da vicino sono le relazioni fra i numeri, ci siamo sempre occupati quasi esclusivamente di funzioni numeriche che possono essere assegnate mediante un’espressione che lega le due variabili x e y.

L'insieme A viene chiamato dominio (o insieme di definizione) della funzione
L'insieme B viene chiamato codominio della funzione

In generale se f indica una generica legge, si scrive

y = f(x) (si legge y è uguale a effe di x)

E’ facile rendersi conto che le coppie ordinate di una funzione devono essere tante quante gli elementi di A (ad ogni elemento di A) e che tutti i primi elementi sono tra di loro diversi (corrisponde un solo elemento di B).

Lo studio di funzione si basa su una serie di operazioni che permettono di rappresentare la funzione sul grafico.

PASSI PER LO STUDIO DI FUNZIONE:

Per poter descrivere una curva, data la sua equazione cartesiana esplicita y = f(x) occorre

procedere secondo l’ordine seguente:

1. Determinare l’insieme di esistenza della y = f(x).

2. Determinare gli eventuali punti di intersezione della curva con gli assi coordinati.

3. Rilevare le eventuali simmetrie.

4. Studiare il segno della funzione.

5. Ricercare eventuali asintoti della curva.

6. Studiare gli zeri della derivata prima, sostituirli alla derivata seconda, in modo da rilevare i punti di massimo e minimo, e individuare i valori dei punti stazionari.

7. Rappresentazione grafica della funzione.

1. Determinare il dominio D della funzione

Determinare l’insieme di esistenza (o campo di esistenza o dominio) significa trovare per quali valori della variabile indipendente x si ha un valore della variabile dipendente y determinato.

Per determinare l’insieme di esistenza di una funzione è utile ricordare che le operazioni di somma, differenza e prodotto sono sempre possibili, mentre la divisione è sempre possibile purché il divisore sia diverso da zero. Segue che:

· Una funzione polinomiale ha come insieme di esistenza l’insieme dei numeri reali.

· Una funzione polinomiale fratta ha come insieme di esistenza tutti i numeri reali tranne quelli che, eventualmente, annullano il denominatore.

2. Ricercare le eventuali intersezioni con gli assi (x;y)

Determinare gli eventuali punti di intersezione della curva con gli assi coordinati significa trovare le coordinate dei punti in cui, eventualmente, la funzione interseca l’asse x (ascisse) e le coordinate dei punti in cui, eventualmente, la funzione interseca l’asse y (ordinate).

· Per trovare le coordinate dei punti in cui la funzione interseca l’asse y si vede cosa

succede quando si pone 0 = x nella funzione.

· Per trovare le coordinate dei punti in cui la funzione interseca l’asse x si vede cosa

succede quando si pone 0 = y nella funzione.

3. Chiedersi se la funzione

· è pari: e quindi ha grafico simmetrico rispetto all'asse y;

· dispari: e quindi ha grafico simmetrico rispetto all' origine;

· oppure né pari né dispari q uindi la funzione sarà asimmetrica (non ammette alcuna simmetria).

1. Studiare il segno della funzione significa determinare per quali valori di x la funzione è positiva e per quali valori è negativa.

5. Nel quinto punto studieremo le condizioni agli estremi del campo di esistenza che ci porterà a verificare l’esistenza di eventuali asintoti verticali, orizzontali e obliqui.

Un asintoto è una retta alla quale la funzione si avvicina indefinitamente senza però mai toccarla.

· Per verificare l’esistenza di eventuali asintoti verticali si studiano il limite destro e il limite sinistro nei punti che non appartengono al campo di esistenza. Se il punto x = c non appartiene al campo di esistenza e si ha

allora la retta verticale c x = è un asintoto verticale per la funzione.

· Per verificare la presenza di eventuali asintoti orizzontali si studiano i limiti per - ∞ e + ∞, (qualora abbia senso considerarli). Se

allora la retta orizzontale y = k è un asintoto orizzontale per la funzione.

· Qualora si abbia che

allora la funzione non possiede asintoti orizzontali e si cerca di individuare se ne possegga almeno obliqui.

Un asintoto obliquo sarà una retta del tipo y = mx + q quindi occorrerà trovare m e q. Per trovare m si calcola

se troviamo ± ∞ allora non esistono asintoti obliqui per la funzione e ci fermiamo. Se invece questa quantità è finita allora abbiamo trovato m e possiamo procedere a determinare q che sarà dato dalla formula

e anche qui, se troviamo ± ∞ allora non esistono asintoti obliqui per la funzione e ci fermiamo; se invece questa quantità è finita allora abbiamo trovato q e quindi la retta y = mx + q ottenuta sostituendo i valori di m e q calcolati sarà un asintoto obliquo per la funzione.

Una volta ottenuti i valori di m di q può essere applicata la seguente formula per verificare che l'asintoto sia corretto:

6. Nel sesto punto calcoleremo la derivata prima di ogni funzione, rilevare gli eventuali punti stazionari e vedere se ci sono punti di massimo o di minimo relativo.

Successivamente:

· Porre f '(x) = 0 e risolvere l'equazione per trovare i cosiddetti "punti stazionari" (cioè calcolare i punti in cui il grafico ha tangente orizzontale).

· Calcolare la derivata seconda y’’= f '' (x).

Porre f '' (x) = 0 e sostituire i punti stazionari al posto della x

Quest’ultima, ci dice se i punti sono di minimo, di massimo o di flesso.

Punto di minimo f”(x) > 0

Punto di massimo f”(x) < 0

Punto di flesso f”(x) = 0

Infine, per rilevare il valore dei punti (max, min ecc) bisogna sostituire alla f(x) i punti stazionari.

Dopo aver eseguito i punti citati è possibile rappresentare la funzione sul grafico.

Esempio studio di funzione:

Il polinomio è già scomposto. Avremo quindi:

1. CAMPO DI ESISTENZA: la funzione è polinomiale fratta quindi si ha un valore della variabile dipendente y determinato per ogni valore della variabile indipendente x esclusi quelli che annullano il denominatore, ossia escluso x = 0

Segue che

2. INTERSEZIONI CON GLI ASSI CARTESIANI.

· Per trovare le coordinate dei punti in cui la funzione interseca l’asse y si vede cosa succede quando si pone x = 0 nella funzione, ma siccome il valore x = 0 non appartiene al campo di esistenza non lo possiamo considerare. Segue che la funzione non interseca l’asse y .

· Per trovare le coordinate dei punti in cui la funzione interseca l’asse x si vede cosa succede quando si pone e y = 0 nella funzione. In questo caso avremo

Ma siccome il numeratore non si annulla mai perché è sempre positivo segue che la funzione non interseca nemmeno l’asse x

3. RILEVARE EVENTUALI SIMMETRIE

La funzione è dispari poiché e quindi ha grafico simmetrico rispetto all'origine

4. SEGNO DELLA FUNZIONE: Studiamo il segno della funzione

quindi si ha:

5. RICERCA DI EVENTUALI ASINTOTI

Ricordiamo che

· ASINTOTI VERTICALI. Dobbiamo calcolare cosa succede intorno a 0 = x che non appartiene al campo di esistenza. Avremo

Segue che la retta verticale x = 0, ossia l’asse delle y è un asintoto verticale.

· ASINTOTI ORIZZONTALI. Dobbiamo calcolare il limite per + ∞ e - ∞.

quindi sia a sinistra che a destra non c’è alcun asintoto orizzontale.

· ASINTOTI OBLIQUI: Calcoliamo m ed eventualmente q . Avremo:

Siccome abbiamo trovato m = 1 posso andare a calcolare q e si avrà

quindi q = 0 e di conseguenza la retta y = x, che è la bisettrice del primo e terzo quadrante, è un asintoto obliquo per la funzione.

6. RILEVARE I COSIDDETTI PUNTI STAZIONARI.

· Calcolare la derivata prima della funzione

La cui derivata è

· Porre la f’(x) = 0 e rilevare i punti stazionari

Porre il numeratore = 0 e trovare le radici dell’equazione

· Calcolare la derivata seconda della funzione e sostituire i punti stazionari rilevati

· Infine per poter rilevare i corrispettivi valori dei punti stazionari bisogna sostituire i punti alla funzione di partenza.

7. RAPPRESENTAZIONE GRAFICA DELLA FUNZIONE