ANALISI DELLE SERIE STORICHE

Una serie storica è una successione di intensità yt ordinata temporalmente tramite il pedice t; t = 1, 2, ...T che denota modalità qualitative temporali (anno, trimestre, mese, settimana, giorno).

Le serie storiche descrivono l’evoluzione di un fenomeno nel tempo e sono il punto di partenza sia per qualunque comparazione temporale, sia per la formulazione di previsioni circa l’andamento futuro del fenomeno stesso.

L’analisi statistica di una serie storica inizia sempre con la costruzione del grafico. Si tratta di un diagramma cartesiano che riporta in ascissa le modalità di tempo t ed in ordinata le intensità del fenomeno yt.

Le serie storiche sono classificate in relazione al loro andamento in serie storiche stazionarie e serie storiche evolutive. Le prime presentano un andamento stabile nel tempo, il loro grafico si sviluppa parallelamente all’asse delle ascisse; hanno un livello costante e le loro oscillazioni sono imputabili al caso e costituiscono la componente accidentale o irregolare della serie. La struttura di una serie stazionaria, pertanto, è la seguente:

yt = µ+ Et,

ove µ rappresenta il livello medio (costante) della serie, mentre Et è la componente irregolare. Le serie evolutive, invece, sono caratterizzate da comportamenti che si modificano nel tempo nel senso che la loro dinamica può essere crescente, decrescente, ciclica, potendo passare da uno stato all’altro nel corso del tempo. Nelle serie evolutive sono facilmente identificabili componenti quali il trend (Tt) e la stagionalità (St), in aggiunta alla componente irregolare (Et).

Il trend di una serie storica esprime il suo andamento medio nel lungo periodo; il trend può essere crescente, decrescente o alternare periodi di crescita a periodi di decadimento. La stagionalità di una serie storica è una componente periodica (o ciclica) con periodo annuale, mensile o settimanale e media nulla. E’ importante tenere presente che il ciclo della stagionalità si svolge completamente durante l’arco di un periodo per cui la stagionalità è individuabile solo nelle serie rilevate con cadenza inferiore all’anno: serie mensili, trimestrali, quadrimestrali ecc.. Il fatto, poi, di avere media nulla ci dice che la stagionalità non contribuisce alla crescita o al decadimento del fenomeno in oggetto ma è solo una componente transitoria i cui effetti si compensano nell’arco del periodo.

Per rappresentare la struttura di una serie evolutiva si considerano dei modelli di composizione di tipo additivo, moltiplicativo e misto.

Il modello additivo è strutturato in modo tale per cui le componenti si sommano senza interagire tra di loro:

yt = Tt + St + Ct + Et

Nel modello moltiplicativo, invece, le componenti si influenzano reciprocamente, si ha:

yt = Tt * St * Ct * Et

Infine, nei modelli misti solo alcune componenti (tipicamente trend e stagionalità) interagiscono tra loro, un esempio è:

yt = Tt * St + Et

Una serie storica presenta quasi sempre un trend, o crescente o decrescente. Se il trend è costante, la serie storica è detta stazionaria.

Pochi sono i fenomeni che posseggono un movimento tendenziale costante per lunghi periodi di tempo. In generale, il trend è generato da cause profonde, che agiscono per un lungo periodo di tempo. Un test rapido per individuare l’esistenza del trend è la sua direzione, è il segno delle differenze fra ogni dato rilevato e il dato precedente.

y t – y t – 1

Se il numero di tali differenze positive supera il numero di quelle negative, il trend è crescente; viceversa, se il numero delle differenze positive è minore del numero delle differenze negative, si ha una serie storica decrescente.

Per determinare il trend esistono vari metodi; fra i quali i più utilizzati sono:

· metodo dei minimi quadrati

· metodo delle medie mobili

Una media mobile è una media calcolata su un insieme “mobile” di dati. Le medie mobili possono essere semplici o ponderate. Nel primo caso tutti i termini hanno lo stesso peso, nel secondo alcuni o tutti i termini possono avere pesi diversi; naturalmente, la somma dei pesi deve sempre valere l’unità.

Denoteremo con Mt (2k+1) la media mobile semplice di estensione 2k+1 il cui valore viene posizionato sull’asse dei tempi al tempo t. Con riferimento a questo ultimo punto si dice che la media mobile è centrata quando il tempo t si trova in corrispondenza con il termine centrale della media mobile che, in questo caso, deve necessariamente avere estensione dispari. Si ha:

Mt (2k+1) = (yt- k + yt-k+1 +… yt +… + yt-+ k-1 + yt+k ) / (2k+1)

La media mobile è non centrata quando non è possibile la corrispondenza di cui sopra, si tratta delle medie mobili aventi estensione pari.

Ad esempio data la successione di valori: y1, y2, y3, y4, y5, y6, y7, y8..., una media mobile (centrata) di k = 3 termini è data da :

M2 (3) = (1/3)( y1+ y2+ y3)

M3 (3) = (1/3)( y2+ y3+ y4)

M4 (3) = (1/3)( y3+ y4+ y5)

...M7 (3) = (1/3)( y6 + y7+ y8) ....

Una media mobile semplice non centrata può essere :

M2 (4) = (1/4)( y1+ y2+ y3 + y4)

M3 (4) = (1/4)( y2+ y3+ y4+ y5)

… M4 (4) = (1/4)( y3+ y4+ y5+ y6)

Per calcolare il trend con le medie mobili è necessario:

· scegliere il tipo di media mobile: semplice o ponderata.

· scegliere l’estensione della media mobile, fissando k.

Con riferimento al secondo punto osserviamo che quanto più è grande la lunghezza della media mobile tanto più l’andamento del trend risulta perequato. In pratica, a seconda del tipo di serie ed in assenza di stagionalità, vengono scelti valori di k compresi tra 2 e 10.

La presenza di una componente stagionale impone dei limiti sulle possibili scelte dell’estensione della media mobile in quanto se t è il periodo stagionale (t = 4 per serie trimestrali, t = 12 per serie mensili ) non si può scegliere una estensione inferiore ad t (anzi l’estensione migliore sarebbe proprio t o un suo multiplo ) per evitare che il trend calcolato includa anche una porzione di stagionalità. Questo vincolo comporta qualche complicazione quando il periodo stagionale è pari in quanto, allora la media mobile ottimale sarebbe non centrata.

Come si è detto molte serie storiche di vendite hanno come riferimento temporale il mese. In tale caso, per quanto detto sopra, il calcolo del trend richiederebbe una media mobile non centrata di estensione pari a 12. La non centratura crea un’ambiguità circa il posizionamento del valore della media mobile. Si ha:

Mt - (12) = (1/12)(yt-6+yt-5+…+yt …+ yt+5) => media mobile spostata indietro

Mt + (12) = (1/12)(yt-5… +yt …+yt+5+ yt+6) => media mobile traslata in avanti

Per ovviare all’inconveniente è possibile considerare una media mobile delle due medie mobili precedenti:

Mt (13,w) = (1/2)( Mt - (12) + Mt + (12) ) = (yt-6+2yt-5+2yt-5+2yt-4+2yt-3+2yt-2+2yt 1+2yt+2yt+1+2yt+2+2yt+3+2yt+4+2yt+5+ yt+6 )

24

Si vede che la nuova media mobile è ponderata con pesi [1/24, 2/24, 2/24, 2/24, 2/24, 2/24, 2/24, 2/24, 2/24, 2/24, 2/24, 2/24, 1/24] di estensione 13 e centrata.

Stimato il trend con uno dei metodi sopra descritti, la sua eliminazione dalla serie (operazione di detrendizzazione) avviene con modalità diverse a seconda del modello strutturale ipotizzato per la serie stessa.

Nel caso di modello additivo la detrendizzazione avviene per differenza:

ut = yt – Tt = St + Et

Se il modello strutturale è moltiplicativo per divisione:

ut = yt/Tt = StEt

Evidentemente nel primo caso il residuo detrendizzato ut oscilla attorno all’asse delle ascisse potendo assumere valori positivi e negativi, nel secondo caso oscilla attorno all’unità assumendo solo valori positivi 0 < ut < yt.

Se l’operazione di detrendizzazione è stata eseguita correttamente, il residuo contiene l’eventuale stagionalità e la componente accidentale. Nel caso di struttura additiva:

ut = St + Et

Il passo successivo consiste nello stimare la componente stagionale che, come sappiamo è una componente periodica a media nulla.

La stagionalità si calcola facendo la media mobile centrata a 12 termini. A questo punto si sottrae la componente stagionale dalla serie detrendizzata e resta così visibile la componente ciclica. Resta così suddivisa la serie storica nelle sue componenti principali.

Il fine dell’analisi delle serie storiche è quindi quello di individuare quanta parte del trend è dovuta alla componente ciclica, alla stagionalità oppure alla componente erratica.

Ecco un esempio di una tabella relativa alla produzione di automobili Lancia negli anni 1978-1998, dov’è riportata la retta interpolante ricavata con il metodo dei minimi quadrati, la serie dei dati rilevati interpolati, il movimento ciclico lordo e netto e il movimento accidentale.