Richiami teorici

Ipotizziamo di spostare con velocità costante una sbarra cilindrica conduttrice immersa in un campo magnetico uniforme ortogonale ad essa (nel ragionamento prenderemo in considerazione come verso del vettore v: destra).

Gli atomi del metallo che formano la sbarra sono uniti tra di loro da legami di tipo metallico. Ciò significa che vi sarà una struttura “interna” ordinata (cristallo) formata da protoni e neutroni e una nube “esterna” di elettroni che gli ruota attorno in maniera disordinata (nube elettronica). La presenza di elettroni liberi permette ai metalli di essere degli ottimi conduttori di corrente elettrica. Quando la sbarra è in movimento, questi elettroni risentono della forza di Lorentz. Quest’ultima è la forza che agisce su una carica q che si muove con velocità v in un campo magnetico B. Ha direzione perpendicolare sia a v che a B e verso dato dalla regola della mano destra. Nel nostro caso la forza di Lorentz che agisce sul singolo elettrone della sbarra è dato dalla formula

dove .

Sapendo che la sbarra si muove verso destra e utilizzando la regola della mano destra capiamo che la FL che agisce su ogni elettrone della sbarra, sposterà questi verso l’estremo superiore della sbarra che si caricherà negativamente. L’estremo inferiore, di conseguenza, si caricherà positivamente. Tra questi due estremi si viene a generare, quindi, sia una ddp in aumento nel tempo che un campo elettrico uniforme anch’esso in aumento.

F rappresenta la forza repulsiva esercitata dall’estremo superiore e attrattiva esercitata da quello inferiore sugli elettroni liberi. Il moto degli elettroni verso l’estremo superiore della sbarra si interrompe quando il modulo della forza repulsiva, esercitata dagli elettroni accumulati all’estremo superiore, è uguale al modulo della forza di Lorentz. In questo caso il campo elettrico uniforme che si genera tra gli estremi della sbarra è massimo come anche la ddp.

EMAX è anche uguale a

dove l e la lunghezza della sbarra.

Unendo le due formule otteniamo

Se, quando tra gli estremi della sbarra la ddp è massima la FL che agisce su ogni elettrone è uguale alla FR allora

da cui

Il problema che vogliamo affrontare adesso è quello di calcolare in quanto tempo viene raggiunta la ddp max tra gli estremi dalla sbarra. Per poter operare matematicamente è necessario effettuare un approssimazione considerando la sbarra come un circuito formato da un condensatore, una resistenza e un generatore di corrente continua. Le due aree di base della sbarra le consideriamo come le due armature del condensatore, la resistenza della sbarra come la resistenza del circuito, mentre il generatore di corrente continua lo consideriamo come la fem che provoca lo spostamento delle cariche nella sbarra (nella sbarra la fem è rappresentata dalla forza di Lorentz).

L’area di base della sbarra è calcolabile, conoscendo il raggio della circonferenza, con la seguente formula

La funzione che descrive la variazione della ddp agli estremi di un condensatore nel tempo durante il suo processo di carica è la seguente

(1)

dove R è il valore della resistenza del circuito. Quest’ultima, come abbiamo visto, ha modulo uguale alla resistenza della sbarra che è calcolabile con la seconda legge di Ohm

dove l è la lunghezza della sbarra, A è l’area di base e ρ è il coefficiente di resistività del materiale che compone la sbarra.

Nella formula (1) compare anche la capacità del condensatore (C). La capacità di un condensatore è calcolabile mediante la formula

ma quanto vale ΔQ?

Sappiamo che tra le armature di un condensatore si genera una campo magnetico uniforme il cui modulo è uguale a

Dove σ rappresenta la densità di carica

Per quanto riguarda ε, nella simulazione supponiamo che il mezzo presente tra le armature del condensatore sia il vuoto.

In questo caso, quindi, .

Il campo elettrico presente tra le armature del condensatore a processo di carica ultimato (nel paragone con la sbarra; quando si raggiunge la ddp max tra gli estremi) è uguale a

da cui

Nella formula (1) la capacità sarà dunque uguale a

A questo punto dalla (1) possiamo facilmente calcolare il tempo necessario a raggiungere la ddp max ai capi delle armature del condensatore (e quindi ai capi della sbarra).

Quando il condensatore è carico

Ciò vuol dire che

(1 per t → +∞)

da cui

Scrivendo 0,01 come potenza di e otteniamo

da cui

quindi il tempo necessario a raggiungere la ddp max è

Lo spazio percorso durante questo intervallo di tempo sarà

Programma in C++

#include <iostream.h>

#include <conio.h>

#include <math.h>

#define PI 3.14159265

int main ()

{

char risp;

float j,r,A,B,v,l,ro,R,dfemmax,k,Emax,ist,C,t,DVist,femmax,q=(1.6e-19),eps0=(8.854e-12),e=(2.718281829),Fl;

cout<<" SIMULAZIONE DELLA FEM INDOTTA IN UNA SBARRA"<<"\n\n";

cout<<"\n"<<"NB in questa simulazione si da per scontato che l'angolo formato dai vettori B ed S sia pari a 0 gradi mentre quello tra i vettori B e v sia pari a 90 gradi"<<"\n\n";

cout<<"\n"<<"Inserire l'intensita' del campo magnetico (in Tesla): ";

cin>>B;

cout<<"\n"<<"Inserire il valore della velocita' con la quale si muove la sbarra (in m/s): ";

cin>>v;

cout<<"\n"<<"Quanti metri e' lunga la sbarra? ";

cin>>l;

cout<<"\n"<<"Quanto vale il coefficiente di resistivita' ro (in ohm * m) della sbarra? ";

cin>>ro;

cout<<"\n"<<"Inserire la lunghezza del raggio (in m): ";

cin>>r;

j=pow(r,2);

A=PI*j;

cout<<"\n"<<"L'area di base della sbarra vale "<<A<<" metri quadri";

R=ro*(l/A);

cout<<"\n\n"<<"La resistenza della barra e' pari a: "<<R<<" Ohm"<<"\n";

femmax=l*v*B;

cout<<"\n"<<"La femmax e' pari a: "<<femmax<<" V"<<"\n";

Fl=q*v*B;

Emax=Fl/q;

C=(Emax*A*eps0)/femmax;

cout<<"\n"<<"La capacita' della sbarra e' pari a: "<<C<<" F"<<"\n\n";

t=4.60*R*C;

dfemmax=v*t;

cout<<"Per raggiungere la ddpmax agli estremi la barra deve percorrere "<<dfemmax<<"\n"<<"metri in "<<t<<" secondi"<<"\n";

cout<<"\n"<<"Si desidera calcolare il valore della ddp corrispondente ad un dato istante"<<"\n"<<"(inserito dall'utente) precedente al raggiungimento della ddpmax? (s/n) ";

cin>>risp;

while ((risp=='S')||(risp=='s'))

{

cout<<"\n"<<"Indicare l'istante (sec.) del quale di vuole conoscere la corrispondente ddp: ";

cin>>ist;

k=pow(e,-(ist/(R*C)));

DVist=femmax*(1-k);

if (DVist<femmax)

cout<<"\n\n"<<"Dopo "<<ist<<" sec. la ddp vale "<<DVist<<" V";

else

cout<<"\n"<<"Dopo "<<ist<<" sec. la ddp vale "<<femmax<<" V";

cout<<"\n\n"<<"Si desidera calcolare il valore della ddp corrispondente ad un altro istante"<<"\n"<<"(inserito dall'utente) precedente al raggiungimento della ddpmax? (s/n) ";

cin>>risp;

}

cout<<"\n\n"<<"LEONARDO LATELLA RINGRAZIA PER LA CORTESE ATTENZIONE!!!";

getch();

return 0;

}