“Non c’è alcun dubbio che, considerando retrospettivamente la storia del genere umano, ad esempio fra diecimila anni da oggi, la scoperta di Maxwell delle leggi dell’elettrodinamica sarà considerata l’evento più significativo del diciannovesimo secolo. La Guerra Civile americana apparirà come un insignificante fatto di provincia al confronto di questo fondamentale evento scientifico della stessa decade”.

Richard Feynmann

(Premio Nobel per la Fisica nel 1965)

Prima di Maxwell la trattazione dell’elettromagnetismo si basava sui teoremi di Gauss, sulla legge dell’induzione elettromagnetica (legge Faraday - Neumann) e sul teorema di Ampère.

I teoremi di Gauss permettono di quantificare gli effetti globali del flusso dei campi E e B. La legge dell’induzione elettromagnetica permette di determinare gli effetti elettrici delle variazioni di campo magnetico. Il teorema di Ampère correla gli effetti magnetici con le correnti che li producono.

TEOREMA DI GAUSS PER IL CAMPO ELETTRICO

Il flusso di campo elettrico attraverso una superficie chiusa è dato dalla seguente formula:

(1)

Un corpo carico produce nello spazio circostante delle linee di forza elettriche il cui flusso attraverso una superficie chiusa è pari alla somma algebrica delle cariche poste al suo interno divisa per la costante dielettrica del mezzo che riempie lo spazio.

TEOREMA DI GAUSS PER IL MAGNETISMO

Il flusso di un campo magnetico attraverso una qualsiasi superficie chiusa è pari a zero.

(3)

Una corrente elettrica che circola in un conduttore produce delle linee di forza magnetiche attorno ad esso il cui flusso attraverso una superficie chiusa è sempre nullo.

Il primo teorema ci fa capire che esiste un monopolo elettrico, una carica elettrica singola la quale genere un campo elettrico (uscente se QG>0, entrante se QG<0). Il secondo teorema, invece, ci fa capire che il campo magnetico è di tipo solenoidale, cioè le linee di forza sono sempre chiuse, quindi non esiste il monopolo magnetico (non è possibile separare il polo nord dal polo sud).

LEGGE DELL’INDUZIONE ELETTROMAGNETICA

La variazione del flusso magnetico attraverso la superficie di un circuito genera in esso una fem indotta.

La fem indotta è causa della corrente indotta la quale genera a sua volta un campo magnetico il quale si oppone alla variazione del flusso che l’ha prodotta (Legge di Lenz espressa dal “–“).

TEOREMA DI AMPèRE

Un filo percorso da corrente genera un campo magnetico. La circuitazione del campo magnetico è proporzionale alla somma algebrica delle correnti concatenate (interne, cioè, all’area delimitata da lungo la quale giace B).

(4)

I i >0 se B ha lo stesso verso di (verso di lettura uguale, per convenzione, a quello di B).

I i < 0 se B ha verso opposto a quello di .

Il campo magnetico, quindi, a differenza di quello elettrostatico non è conservativo (un campo vettoriale si dice conservativo se la sua circuitazione è nulla).

Il primo teorema di Gauss ammette che una carica generi nello spazio circostante un campo elettrico. Per definizione esso è uguale alla forza che la generatrice esercita sull’esploratrice fratto il valore dell’esploratrice (il campo elettrico è quindi indipendente dall’esploratrice).

La legge di Faraday - Neumann dimostra come sia possibile mettere in movimento delle cariche elettriche senza avere a disposizione altre cariche elettriche che fanno da generatrici.

Prendiamo ad esempio un’elettrocalamita dove la bobina è attraversata da una corrente elettrica in aumento.

Come conseguenza vi sarà un aumento progressivo dell’intensità del campo magnetico presente tra i poli dell’elettrocalamita. Immergendo nel campo magnetico un anello conduttore, esso verrà attraversato da una corrente indotta calcolabile con la legge di Faraday - Neumann. Da questo esempio si comprende come un campo magnetico variabile generi un campo elettrico “indotto” che permette alle cariche di muoversi lungo l’anello. Per definizione esso è uguale alla forza che agisce sulle cariche, la quale però non è esercitata da altre cariche ma è dovuta alla forza elettromagnetica, fratto il valore della carica di prova sulla quale la forza agisce.

E’ importante ricordare che il verso della corrente che scorre nell’anello segue la legge di Lenz. Questa corrente, quindi, genererà un campo magnetico che si opporrà a quello generato dall’elettrocalamita. Ricordiamo, inoltre, che per convenzione il verso della corrente coincide con quello in cui si muovono le cariche positive (verso potenziali minori). Dalle formule del campo elettrico indotto capiamo quindi che il suo verso sarà uguale a quello della corrente.

La forza elettromotrice, generata nell’anello dalla variazione del campo magnetico dell’elettrocalamita, è pari al lavoro fatto dalle forze non elettrostatiche fratto la carica di prova.

Se la corrente che scorre nell’anello si muove in maniera circolare significa che il vettore F(ie) cambia continuamente la sua direzione e verso.

Dividendo la circonferenza dell’anello in tanti piccoli (pezzettini), il lavoro compiuto dalla F(ie) in un tratto è uguale al prodotto scalare

Il lavoro totale, esercitato dalla forza F(ie) sulle cariche, è uguale a

La fem nell’anello sarà quindi uguale a

Se allora

Sappiamo dalla legge di Faraday - Neumann che la fem è uguale a

Se allora

(2)

Dato che la circuitazione di E non è uguale a zero, il campo elettrico indotto non è conservativo.

Osservando le equazioni (1)(2)(3)(4), si possono notare alcune simmetrie: due esprimono i valori dei flussi e due i valori delle circuitazioni. Tuttavia vi sono delle strane asimmetrie. Nella prima legge di Gauss notiamo la presenza della carica elettrica Q mentre nella seconda non è presente un’analoga “carica magnetica”. Osservando, invece, la legge di Ampère si può notare la presenza della corrente elettrica mentre nella legge di Faraday - Neumann non vi è un’analoga “corrente magnetica”

Queste asimmetrie sono spiegabili dal fatto che è impossibile isolare i poli magnetici.

James Clerk Maxwell notò un’ulteriore asimmetria tra la legge di Faraday - Neumann e la legge di Ampère. Secondo la prima una variazione del flusso del campo magnetico genera una circuitazione del campo elettrico. Osservando la legge di Ampère non vi è un termine proporzionale alla rapidità con cui varia il campo elettrico. Partendo da questa asimmetria Maxwell aggiunse alla legge di Ampère il “termine mancante”.

Consideriamo il processo di carica di un condensatore. Durante questo processo i fili collegati alle armature del condensatore sono percorsi da corrente continua e, secondo la legge di Ampère, generano un campo magnetico nello spazio circostante. All’interno del condensatore, dove non c’è nessun filo percorso da corrente, il campo magnetico “dovrebbe” essere nullo. La legge di Ampère non ci spiega che cosa succede in prossimità delle armature del condensatore.

Seguendo, quindi, l’equazione di Ampère il campo magnetico all’interno del condensatore dovrebbe scomparire “improvvisamente”. Ipotizziamo ora di racchiudere un’armatura del condensatore carico all’interno di una superficie cilindrica.

Il campo elettrico è diverso da zero solo all’interno del condensatore. Per Gauss il flusso del vettore E attraverso la superficie del cilindro è

L’unico contributo al flusso è quello che corrisponde alla base del cilindro, di area S, interna al condensatore

Unendo le due equazioni otteniamo

(1)

Durante il processo di carica del condensatore, la carica che si deposita sulle armature, e quindi anche il campo elettrico uniforme che si forma tra esse, varia nel tempo. La (1) diventa quindi

se allora

se allora

da cui

Tra le armature del condensatore è presente un materiale isolante (dielettrico) che, polarizzandosi, permette di trattenere le cariche sulle armature e di ridurre l’attrazione tra queste ultime. Quando le armature del condensatore non sono collegate al generatore di corrente continua, nelle molecole che costituiscono il dielettrico il baricentro delle particelle positive coincide con quello delle particelle negative. Quando, invece, le armature vengono collegate al generatore, su di esse si viene a creare una distribuzione di cariche positive e negative e di conseguenza, si genererà un campo elettrico uniforme. Quest’ultimo, agendo sulle cariche elettriche delle molecole del dielettrico, sposterà il baricentro di quelle positive rispetto al baricentro di quelle negative. All’interno del condensatore si genererà, quindi, una corrente che si fermerà a processo di carica ultimato.

Questa corrente, che Maxwell chiamò corrente di spostamento, ha la stessa intensità della corrente che circola nei fili collegati alle armature. Non è vero, quindi, che all’interno del condensatore il campo magnetico ha valore nullo. La corrente di spostamento costituisce il “termine mancante” della legge di Ampère che diventa dunque

L’aggiunta del termine mancante alla legge di Ampère rende simmetrici il campo elettrico e quello magnetico nel tempo. Un campo magnetico variabile genera un campo elettrico (legge Faraday - Neumann) e un campo elettrico variabile genera un campo magnetico. I due comportamenti non sono identici: nella legge Faraday - Neumann , infatti, compare il segno “–“ mentre in quella di Ampère il segno “+“. Dato che le due circuitazioni sono diverse da zero, i due campi non sono conservativi. Nella sua opera “Treasise on electricity and magnetism”, pubblicato nel 1873, Maxwell utilizzò le quattro equazioni come assiomi della sua teoria. Per tale motivo queste equazioni sono dette equazioni di Maxwell.

Le equazioni di Maxwell descrivono il comportamento del campo elettromagnetico (costituito dai campi B ed E).

Campo elettrico: ROSSO
Campo magnetico: BLU

1.

2.

3.

4.

I campi elettromagnetici sono prodotti dall’oscillazione delle cariche elettriche. L’oscillazione di una carica determina la variazione del flusso del campo elettrico. A causa di questa variazione verrà generato un campo magnetico (quarta equazione di Maxwell) il quale a sua volta determinerà la variazione del campo elettrico (seconda equazione di Maxwell) e così via. Una volta che il campo elettromagnetico è stato prodotto dall’oscillazione di una carica, esso avrà un’esistenza autonoma. Essendo questa una caratteristica delle onde si parlerà di onde elettromagnetiche.

Le onde elettromagnetiche sono onde trasversali: il campo elettrico e il campo magnetico, infatti, ortogonali tra loro, sono sempre perpendicolari alla direzione di propagazione.

Consideriamo la quarta equazione di Maxwell. Nel caso di una particella che oscilla nel vuoto (i=0) essa diventerà

Ma che cosa rappresenta il prodotto?

Calcoliamone le dimensioni

Il rapporto ha le dimensioni di una velocità.

Essendo e due costanti, sostituendo all’espressione i valori numerici otteniamo

Maxwell dimostrò matematicamente che il valore ottenuto indica la velocità di un’onda elettromagnetica che si propaga nel vuoto. E’ importante notare che tale valore coincide con la velocità della luce (c). Da questo ragionamento il genio di Edimburgo dedusse che la luce è costituita da onde elettromagnetiche.

In un mezzo di costante dielettrica relativa e di permeabilità magnetica relativa la velocità di propagazione delle onde elettromagnetiche risulta

Una particella oscillante nello spazio, produrrà un’onda elettromagnetica che si propaga in ogni direzione. In essa i campi B ed E vibrano in fase in un piano ortogonale alla direzione di propagazione. Tra i due campi vi è una diretta proporzionalità dove il coefficiente angolare è la velocità dell’onda elettromagnetica.

(nel vuoto)

(nella sostanza)

NB Nel disegno viene usata una scala di c diversa per E e per B.

Nel generico punto distante x dall’origine degli assi e nel generico istante t, i valori di E e B sono dati da:

L’andamento del campo elettrico e del campo magnetico è in fase; ciò significa che i due campi assumono contemporaneamente, nello stesso istante, o il valore massimo, o il valore minimo, o quello nullo.

λ = Distanza tra due punti nei quali i due campi sono uguali.

T = Intervallo di tempo necessario affinché i valori dei campi siano gli stessi.

Queste due grandezze sono direttamente proporzionali tra di loro

(nel vuoto)

(nella sostanza)

Se allora

(nel vuoto)

(nella sostanza)

Una caratteristica dell’onda meccanica è quella di poter trasportare energia associata alle vibrazioni delle particelle del mezzo attraversato.

Dato che la radiazione elettromagnetica è di carattere ondulatorio, anch’essa trasporterà energia.

Come facciamo a calcolarla?

Calcoliamo prima quella legata ad un campo elettrico nel caso semplice di un condensatore. La sua capacità è espressa dalla seguente relazione

dove

se allora

se allora quindi

La quantità di energia immagazzinata in un condensatore è data dalla seguente formula:

Dato che tra le armature di un condensatore carico vi è un campo elettrico, che si annulla con la scarica, l’energia immagazzinata nel condensatore è spesa per creare questo campo.

Da questa osservazione possiamo determinare una nuova grandezza: la densità di energia del campo elettrico. Essa rappresenta l’energia contenuta nell’unità di volume.

quindi

La densità di energia del campo elettrico sarà quindi uguale a

(1)

Consideriamo la proporzionalità diretta tra il campo magnetico e quello elettrico nel vuoto

da questo ricaviamo facilmente che

Sostituendo questo rapporto alla formula (1) otteniamo quella della densità di energia del campo magnetico

(2)

La densità di energia associata al campo elettromagnetico si “dovrebbe” ottenere dalla somma delle formule (1) e (2)

Bisogna considerare, però, che E e B hanno un andamento sinusoidale. Per questo motivo è necessario calcolare la densità di energia media trasportata da un’onda.

Sostituendo alla B del secondo addendo otteniamo