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“Non c’è
alcun dubbio che, considerando retrospettivamente la storia del genere umano,
ad esempio fra diecimila anni da oggi, la scoperta di Maxwell delle leggi
dell’elettrodinamica sarà considerata l’evento più significativo del
diciannovesimo secolo. La Guerra Civile americana apparirà come un
insignificante fatto di provincia al confronto di questo fondamentale evento
scientifico della stessa decade”.
Richard Feynmann
(Premio Nobel per la Fisica
nel 1965)
Prima di Maxwell la trattazione dell’elettromagnetismo
si basava sui teoremi di Gauss, sulla legge dell’induzione elettromagnetica
(legge Faraday - Neumann) e sul teorema di Ampère.
I teoremi di Gauss permettono di quantificare gli
effetti globali del flusso dei campi E e B. La legge dell’induzione
elettromagnetica permette di determinare gli effetti elettrici delle variazioni
di campo magnetico. Il teorema di Ampère correla gli effetti magnetici con le correnti che li producono.
TEOREMA DI GAUSS PER IL CAMPO ELETTRICO
Il flusso di campo elettrico attraverso una superficie
chiusa è dato dalla seguente formula:
(1)
Un corpo carico produce nello spazio circostante delle
linee di forza elettriche il cui flusso attraverso una superficie chiusa è pari
alla somma algebrica delle cariche poste al suo interno divisa per la costante
dielettrica del mezzo che riempie lo spazio.
TEOREMA DI GAUSS PER IL MAGNETISMO
Il flusso di un campo magnetico attraverso una qualsiasi
superficie chiusa è pari a zero.
(3)
Una corrente elettrica che circola in un conduttore
produce delle linee di forza magnetiche attorno ad esso il cui flusso
attraverso una superficie chiusa è sempre nullo.
Il primo teorema ci fa capire che esiste un monopolo
elettrico, una carica elettrica singola la quale genere un campo elettrico (uscente
se QG>0, entrante se QG<0). Il secondo teorema,
invece, ci fa capire che il campo magnetico è di tipo solenoidale, cioè le
linee di forza sono sempre chiuse, quindi non esiste il monopolo magnetico (non
è possibile separare il polo nord dal polo sud).
LEGGE DELL’INDUZIONE ELETTROMAGNETICA
La variazione del flusso magnetico attraverso la
superficie di un circuito genera in esso una fem indotta.
La fem
indotta è causa della corrente indotta la quale genera a sua volta un campo
magnetico il quale si oppone alla variazione del flusso che l’ha prodotta
(Legge di Lenz espressa dal “–“).
TEOREMA DI AMPèRE
Un filo percorso da corrente genera un campo
magnetico. La circuitazione del campo magnetico è proporzionale alla somma
algebrica delle correnti concatenate (interne, cioè, all’area delimitata
da 
lungo la quale giace B).
(4)
I i
>0 se B ha lo stesso verso di (verso di lettura uguale,
per convenzione, a quello di B).
I i
< 0 se B ha verso opposto a quello di .
Il campo magnetico, quindi, a differenza di quello
elettrostatico non è conservativo (un campo vettoriale si dice conservativo se
la sua circuitazione è nulla).
Il primo teorema di Gauss ammette che una carica
generi nello spazio circostante un campo elettrico. Per definizione esso è
uguale alla forza che la generatrice esercita sull’esploratrice fratto il
valore dell’esploratrice (il campo elettrico è quindi indipendente
dall’esploratrice).
La legge di Faraday - Neumann dimostra come sia
possibile mettere in movimento delle cariche elettriche senza avere a
disposizione altre cariche elettriche che fanno da generatrici.
Prendiamo ad esempio un’elettrocalamita dove la bobina
è attraversata da una corrente elettrica in aumento.
Come conseguenza vi sarà un aumento progressivo
dell’intensità del campo magnetico presente tra i poli dell’elettrocalamita.
Immergendo nel campo magnetico un anello conduttore, esso verrà attraversato da
una corrente indotta calcolabile con la legge di Faraday - Neumann. Da questo
esempio si comprende come un campo magnetico variabile generi un campo
elettrico “indotto” che permette alle cariche di muoversi lungo l’anello. Per
definizione esso è uguale alla forza che agisce sulle cariche, la quale però
non è esercitata da altre cariche ma è dovuta alla forza elettromagnetica,
fratto il valore della carica di prova sulla quale la forza agisce.
E’ importante ricordare che il verso della corrente
che scorre nell’anello segue la legge di Lenz. Questa corrente, quindi,
genererà un campo magnetico che si opporrà a quello generato
dall’elettrocalamita. Ricordiamo, inoltre, che per convenzione il verso della
corrente coincide con quello in cui si muovono le cariche positive (verso potenziali minori). Dalle formule del
campo elettrico indotto capiamo quindi che il suo verso sarà uguale a quello della
corrente.
La forza elettromotrice, generata nell’anello dalla
variazione del campo magnetico dell’elettrocalamita, è pari al lavoro fatto
dalle forze non elettrostatiche fratto la carica di prova.
Se la corrente che scorre nell’anello si muove in
maniera circolare significa che il vettore F(ie) cambia continuamente la sua direzione e verso.
Dividendo
la circonferenza dell’anello in tanti piccoli 
(pezzettini), il
lavoro compiuto dalla F(ie)
in un tratto è uguale al prodotto scalare
Il
lavoro totale, esercitato dalla forza F(ie) sulle cariche, è uguale a
La
fem nell’anello sarà quindi uguale a
Se 
allora
Sappiamo
dalla legge di Faraday - Neumann che la fem è uguale a
Se 
allora
(2)
Dato
che la circuitazione di E non è uguale a zero, il campo elettrico indotto non è
conservativo.
Osservando
le equazioni (1)(2)(3)(4), si possono notare alcune simmetrie: due esprimono i
valori dei flussi e due i valori delle circuitazioni. Tuttavia vi sono delle
strane asimmetrie. Nella prima legge di Gauss notiamo la presenza della carica
elettrica Q mentre nella seconda non è presente un’analoga “carica magnetica”.
Osservando, invece, la legge di Ampère si può notare la presenza della corrente
elettrica mentre nella legge di Faraday - Neumann non vi è un’analoga “corrente
magnetica”
Queste
asimmetrie sono spiegabili dal fatto che
è impossibile isolare i poli magnetici.
James
Clerk Maxwell notò un’ulteriore asimmetria tra la legge di Faraday - Neumann e
la legge di Ampère. Secondo la prima una variazione del flusso del campo
magnetico genera una circuitazione del
campo elettrico. Osservando la legge di Ampère non vi è un termine
proporzionale alla rapidità con cui varia il campo elettrico. Partendo da
questa asimmetria Maxwell aggiunse alla legge di Ampère il “termine mancante”.
Consideriamo
il processo di carica di un condensatore. Durante questo processo i fili
collegati alle armature del condensatore sono percorsi da corrente continua e,
secondo la legge di Ampère, generano un campo magnetico nello spazio circostante.
All’interno del condensatore, dove non c’è nessun filo percorso da corrente, il
campo magnetico “dovrebbe” essere nullo. La legge di Ampère non ci spiega che
cosa succede in prossimità delle armature del condensatore.
Seguendo,
quindi, l’equazione di Ampère il campo magnetico all’interno del
condensatore dovrebbe scomparire
“improvvisamente”. Ipotizziamo ora di racchiudere un’armatura del condensatore
carico all’interno di una superficie cilindrica.
Il campo elettrico è diverso da zero solo all’interno
del condensatore. Per Gauss il flusso del vettore E
attraverso la superficie del cilindro è
L’unico contributo al flusso è quello che corrisponde
alla base del cilindro, di area S,
interna al condensatore
Unendo le due equazioni otteniamo
(1)
Durante il processo di
carica del condensatore, la carica che si deposita sulle armature, e quindi
anche il campo elettrico uniforme che si forma tra esse, varia nel tempo. La
(1) diventa quindi
se 
allora
se 
allora
da cui 
Tra le armature del condensatore è presente un
materiale isolante (dielettrico) che, polarizzandosi, permette di trattenere le
cariche sulle armature e di ridurre l’attrazione tra queste ultime. Quando le
armature del condensatore non sono collegate al generatore di corrente
continua, nelle molecole che costituiscono il dielettrico il baricentro delle
particelle positive coincide con quello delle particelle negative. Quando,
invece, le armature vengono collegate al generatore, su di esse si viene a
creare una distribuzione di cariche positive e negative e di conseguenza, si
genererà un campo elettrico uniforme. Quest’ultimo, agendo sulle cariche
elettriche delle molecole del dielettrico, sposterà il baricentro di quelle
positive rispetto al baricentro di quelle negative. All’interno del
condensatore si genererà, quindi, una corrente che si fermerà a processo di
carica ultimato.
Questa corrente, che Maxwell chiamò corrente di spostamento, ha la stessa
intensità della corrente che circola nei fili collegati alle armature. Non è
vero, quindi, che all’interno del condensatore il campo magnetico ha valore
nullo. La corrente di spostamento costituisce il “termine mancante” della legge di Ampère che diventa dunque
L’aggiunta del termine mancante alla legge di Ampère
rende simmetrici il campo elettrico e quello magnetico nel tempo. Un campo
magnetico variabile genera un campo elettrico (legge Faraday - Neumann) e un
campo elettrico variabile genera un campo magnetico. I due comportamenti non
sono identici: nella legge Faraday - Neumann , infatti, compare il segno “–“
mentre in quella di Ampère il segno “+“. Dato che le due circuitazioni sono
diverse da zero, i due campi non sono conservativi. Nella sua opera “Treasise on electricity and magnetism”,
pubblicato nel 1873, Maxwell utilizzò le quattro equazioni come assiomi della
sua teoria. Per tale motivo queste
equazioni sono dette equazioni di
Maxwell.
Le equazioni di Maxwell descrivono il comportamento
del campo elettromagnetico (costituito dai campi B ed E).
Campo elettrico: ROSSO
Campo magnetico:
BLU
1. 
2.
3.
4.
I campi elettromagnetici sono prodotti
dall’oscillazione delle cariche elettriche. L’oscillazione di una carica
determina la variazione del flusso del campo elettrico. A causa di questa
variazione verrà generato un campo magnetico (quarta equazione di Maxwell) il
quale a sua volta determinerà la variazione del campo elettrico (seconda
equazione di Maxwell) e così via. Una volta che il campo elettromagnetico è
stato prodotto dall’oscillazione di una carica, esso avrà un’esistenza
autonoma. Essendo questa una caratteristica delle onde si parlerà di onde
elettromagnetiche.
Le onde elettromagnetiche sono onde trasversali: il
campo elettrico e il campo magnetico, infatti, ortogonali tra loro, sono sempre
perpendicolari alla direzione di propagazione.
Consideriamo la quarta equazione di Maxwell. Nel caso
di una particella che oscilla nel vuoto (i=0)
essa diventerà
Ma che cosa rappresenta il prodotto
?
Calcoliamone le dimensioni
Il rapporto 
ha le dimensioni di una velocità.
Essendo 
e 
due costanti,
sostituendo all’espressione i valori numerici otteniamo
Maxwell dimostrò matematicamente che il valore
ottenuto indica la velocità di un’onda elettromagnetica che si propaga nel
vuoto. E’ importante notare che tale valore coincide con la velocità della luce
(c). Da questo ragionamento il genio di Edimburgo dedusse che la luce è
costituita da onde elettromagnetiche.
In un mezzo di costante dielettrica relativa 
e di permeabilità
magnetica relativa 
la velocità di
propagazione delle onde elettromagnetiche risulta
Una particella oscillante nello spazio, produrrà
un’onda elettromagnetica che si propaga in ogni direzione. In essa i campi B ed
E vibrano in fase in un piano ortogonale alla direzione di propagazione. Tra i
due campi vi è una diretta proporzionalità dove il coefficiente angolare è la
velocità dell’onda elettromagnetica.
(nel vuoto)
(nella sostanza)
NB Nel
disegno viene usata una scala di c diversa per E e per B.
Nel generico punto distante x dall’origine degli assi
e nel generico istante t, i valori di E e B sono dati da:
L’andamento del campo elettrico e del campo magnetico
è in fase; ciò significa che i due campi assumono contemporaneamente, nello
stesso istante, o il valore massimo, o il valore minimo, o quello nullo.
λ = Distanza tra due punti nei quali i due campi sono
uguali.
T = Intervallo di tempo necessario affinché i valori
dei campi siano gli stessi.
Queste due grandezze sono direttamente proporzionali
tra di loro
(nel vuoto)
(nella sostanza)
Se 
allora
(nel vuoto)
(nella sostanza)
Una caratteristica dell’onda meccanica è quella di
poter trasportare energia associata alle vibrazioni delle particelle del mezzo
attraversato.
Dato che la radiazione elettromagnetica è di carattere
ondulatorio, anch’essa trasporterà energia.
Come facciamo a calcolarla?
Calcoliamo prima quella legata ad un campo elettrico
nel caso semplice di un condensatore. La sua capacità è espressa dalla seguente
relazione
dove 
se 
allora 
se 
allora 
quindi
La quantità di energia immagazzinata in un
condensatore è data dalla seguente formula:
Dato che tra le armature di un condensatore carico vi
è un campo elettrico, che si annulla con la scarica, l’energia immagazzinata
nel condensatore è spesa per creare questo campo.
Da questa osservazione possiamo determinare una nuova
grandezza: la densità di energia del campo elettrico. Essa rappresenta
l’energia contenuta nell’unità di volume.
quindi
La densità di energia del campo elettrico sarà quindi
uguale a
(1)
Consideriamo la proporzionalità diretta tra il campo
magnetico e quello elettrico nel vuoto
da questo ricaviamo facilmente che
Sostituendo questo rapporto alla formula (1) otteniamo
quella della densità di energia del campo magnetico
(2)
La densità di energia associata al campo
elettromagnetico si “dovrebbe” ottenere dalla somma delle formule (1) e (2)
Bisogna considerare, però, che E e B hanno un andamento sinusoidale. Per
questo motivo è necessario calcolare la densità di energia media trasportata da
un’onda.
Sostituendo alla B del secondo addendo 
otteniamo
